Elsődleges Abel-csoport

$p$ -elsődleges Abel-csoport (ahol egy fix prímszám ) egy olyan Abel-csoport , amelyből bármely elem sorrendje a hatványa . $p$ ${\megjelenítési stílus (A,+)}$ $A$ $p$

Példák

$(\mathbb {Z} _{p^{n)),+)$ a maradék osztályok additív csoportja modulo ; $p^{n}$
$(\mathbb {Z} _{p}[x],+)$ a polinomgyűrű additív csoportja a mező felett . $\mathbb {Z} _{p}$

Tulajdonságok

Bármely periodikus Abel-csoport (vagyis a végtelen rendű elemek nélküli csoport) -elsődleges alcsoportok közvetlen összegére bomlik. $p$

Egy elsődleges Abel-csoportot eleminek nevezünk, ha minden nem nulla elemének sorrendje egyenlő . ${\megjelenítési stílus (A,+)}$ $p$

Egy Abel-csoport akkor és csak akkor primer elemi, ha a formájú csoportok közvetlen összegére bomlik fel . $A$ $p$ $\mathbb {Z} _{p}$

$p$ Egy elem magassága a legkisebb természetes szám , amelyre . Ha ilyen természetes nem létezik, akkor az elemnek végtelen -magassága van. $a\in A$ $n$ $a\in nA$ $n$ $a$ $p$

Kulikov kritériuma :Az -elsődleges Abel-csoportakkor és csak akkor és csak akkor ciklikus csoportok direkt összegealcsoportok felszálló láncolata létezik. $p$ $A$ $A$

A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}= A

ahol az alcsoportok nullától eltérő elemeinek magassága kisebb, mint egy rögzített elem . $p$ $A_{i}$ $k_n$

Kulikov kritériuma általánosítja Prufer tételeit :

Prufer első tétele : A korlátos-primer (periodikus) Abel-csoport ciklikus részcsoportok közvetlen összege. $p$
Prufer második tétele :-magasságúnullától eltérő elemet $p$ $p$

Irodalom

L. Fuchs Végtelen Abel-csoportok. T. 1., 2. - M .: Mir, 1974, 1977.
L. Ya. Kulikov Az önkényes kardinalitás Abeli-csoportjainak elméletéről // Matematikai Gyűjtemény , 1941. - V. 9, No. 1. - P. 165-181.
H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. - V. 17, No. 1. - P. 35-61.