A csoportelméletben a Tietze-transzformációkat arra használják, hogy egy eredeti csoportdefiníciót ugyanazon csoport másik, gyakran egyszerűbb definíciójává alakítsák át . Az átalakítások Heinrich Tietze nevéhez fűződik , aki egy 1908-as írásában javasolta őket.
A csoport a generátorok és a relációk szerint van meghatározva . Formálisan a csoportdefiníció egy olyan pár, amely generátorok halmazából és egy generátorok feletti szabad csoportból származó szavakból áll , amelyeket relációnak tekintünk. A Tietze-transzformációk elemi lépésekre épülnek, amelyek mindegyike nyilvánvaló módon a feladatot egy izomorf csoport feladatává fordítja . Tietze 1908-ban kimutatta, hogy az alábbiakban bemutatott négyféle transzformáció ismételt alkalmazásával a G csoport eredeti feladatából bármilyen más feladat is elérhető [1] .
Ha az arány a meglévő arányokból származtatható, akkor a csoport megváltoztatása nélkül hozzáadható a feladathoz. Legyen G=〈 x | x 3 =1 〉 egy 3-as rendű ciklikus csoport végső feladata. Az x 3 =1 mindkét oldalát x 3-mal megszorozva x 6 = x 3 = 1 lesz, tehát x 6 = 1 az x 3 = -ből származtatható. 1. Ekkor G=〈 x | x 3 =1, x 6 =1 〉ugyanannak a csoportnak egy másik feladata.
Ha egy arány más arányokból származtatható, akkor a csoport megváltoztatása nélkül eltávolítható a feladatból. A feladatban G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1 〉 az x 6 = 1 arány az x 3 = 1- ből származtatható , tehát eltávolítható. Figyeljük meg azonban, hogy ha az x 3 = 1 relációt kivesszük a csoport definíciójából, akkor a G = 〈x | x 6 = 1 〉 egy 6-os rendű ciklikus csoportot határoz meg, és már nem ugyanazt a csoportot határozza meg. Legyen óvatos, és csak akkor távolítsa el az arányt, ha az a fennmaradó arányokból származtatható.
Adott egy csoportos hozzárendelés, egy új generátor adható hozzá, amely szóként van kifejezve az eredeti generátorokban. A G = 〈x | specifikációból kiindulva x 3 = 1 〉 és y = x 2 beállítással új feladatot kapunk G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 ugyanazt a csoportot definiálva.
Ha a reláció p = V , ahol p egy generátor és V egy szó, amely nem tartalmaz p -t , akkor a generátor eltávolítható. Ebben az esetben a p minden előfordulását V -vel kell helyettesíteni . Adott egy 4. rendű elemi Abel-csoport , G=〈 x,y,z | x = yz, y 2 =1, z 2 =1, x=x −1〉 helyettesíthető G = 〈y , z | y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz ) = ( yz ) −1 〉 x eltávolításával .
Legyen G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1 〉 egy harmadik fokú szimmetrikus csoport hozzárendelése . Az x generátor az (1,2,3) permutációnak, az y generátor pedig a (2,3) permutációnak felel meg. A Tietze transzformációk segítségével ezt a feladatot lefordíthatjuk G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1 〉, ahol z az (1,2) permutációnak felel meg.
| G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1〉 | (kezdeti állapot) |
| G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, z = xy〉 | 3. szabály – z generátor hozzáadása |
| G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, x = zy〉 | 1. és 2. szabály – add hozzá x = z y −1 = zy és távolítsd el a z = xy -t |
| G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉 | 4. szabály – távolítsa el az x generátort |