Potenciális vektor mező

Potenciális (vagy irrotációs ) vektormező a matematikában - vektormező , amely a koordináták valamilyen skaláris függvényének gradienseként ábrázolható . Egy vektormező háromdimenziós térbeli potenciáljának szükséges feltétele a mező görbületének nullával való egyenlősége. Ez a feltétel azonban nem elegendő - ha a vizsgált térrégió nem egyszerűen össze van kötve , akkor a skaláris potenciál lehet többértékű függvény.

Az erőterekkel foglalkozó fizikában az erőtér potenciáljának matematikai feltétele úgy ábrázolható, mint az a követelmény, hogy a munka nullával egyenlő legyen, amikor a részecske, amelyre a tér hat, azonnal mozog egy zárt áramkör mentén. Ennek a körvonalnak nem kell csak adott erők hatására mozgó részecske pályájának lennie. Térpotenciálként ebben az esetben választhatunk egy tesztrészecske pillanatnyi mozgását egy tetszőlegesen kiválasztott kiindulási pontból egy adott pontba (definíció szerint ez a munka nem függ a mozgás útjától). Például a statikus elektromos tér potenciál , valamint a gravitációs tér a newtoni gravitációs elméletben.

Egyes forrásokban csak az időtől független potenciállal rendelkező mező tekinthető potenciális erőternek . Ez annak a ténynek köszönhető, hogy az erők időfüggő potenciálja általában véve nem az ezen erők hatására mozgó test potenciális energiája. Mivel az erők nem egyszerre működnek, a testre ható erők munkája annak pályájától és az áthaladás sebességétől függ. Ilyen körülmények között maga a potenciális energia nincs meghatározva, mivel értelemszerűen csak a test helyzetétől kell függnie, az úttól nem. Ennek ellenére ebben az esetben is létezhet az erőpotenciál, és ugyanúgy bekerülhet a mozgásegyenletekbe, mint a potenciális energia azokra az esetekre, amikor létezik.

Legyen egy potenciálvektormező; az as potenciállal fejeződik ki ${\vec {v}}$ $\phi$

{\vec v}=\nabla \phi

(vagy egy másik bejegyzésben ).

{\vec v}=\operátornév {grad}\phi

Az erők mezőjére és az erők potenciáljára ugyanazt a képletet írják fel, mint

{\vec F}({\vec r},t)=-\nabla U({\vec r},t)

vagyis az erőknél a potenciál . Amikor U nem függ az időtől, akkor ez egy potenciális energia, és akkor a "-" jel egyszerűen definíció szerint megjelenik. Ellenkező esetben a jelet az egységesség kedvéért megtartjuk. $\phi$ $-U$

A mezőre az integrál útfüggetlenségi tulajdonsága teljesül : $\phi$ $P$

\int _{P}{\vec v}\cdot d{\vec r}=\phi (B)-\phi (A)

Ez egyenlő azzal

\oint {\vec v}\cdot d{\vec r}=0

A zárt hurkú integrál 0 lesz, mert a kezdő- és végpont azonos. Ezzel szemben az előző képlet ebből származtatható úgy, hogy egy zárt hurkot két nyitott hurokra osztunk fel.

A szükséges feltételt (vagy más jelöléssel ) írjuk . $\nabla \times {\vec v}=0$ $\operátornév {rot}{\vec v}=0$

A differenciális formák nyelvén a potenciálmező egy pontos 1-es alak, vagyis egy olyan forma, amely egy 0-alak (függvény) (külső) differenciálja. A gradiens a 0-forma (potenciál) külső differenciáljának felvételének, a göndörítés az 1-forma (mező) külső differenciáljának felvételének felel meg. A szükséges feltétel abból következik, hogy a második külső differenciál mindig egyenlő nullával: . Az (általánosított) Stokes-tételből az integrál képletek következnek . $d^{2}=0$

Potenciális vektor mező

Lásd még