Nagyságrenddel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 18-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A nagyságrend a mennyiségek (vagy skálák) bizonyos mennyiségeket kifejező ekvivalenciájának osztálya , amelyen belül minden mennyiség fix viszonyban van az előző osztály megfelelő mennyiségeivel. ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace$ $r={\frac {x_{n}}{x_{{n-1}}}}$

Gyakrabban a sorrend nem magát az ekvivalencia osztályt jelenti, hanem annak néhány numerikus jellemzőjét, amelyek adott feltételek mellett meghatározzák ezt az osztályt (például az osztály sorszáma , feltéve, hogy bizonyos osztályt megadtak vagy utaltak rá). ${\mathcal {C}}_{n}$ $n$ ${\mathcal {C}}_{0}$

Számsorrend

Ha egy bizonyos számrendszerben ábrázolt számokkal dolgozunk, amelyek a számrendszeren alapulnak , akkor leggyakrabban vegyük és , . Ugyanakkor egybeesik egy szám számjegyeinek számával, ha helyzeti számrendszerben írjuk . $b$ $r=b$ $1\in {\mathcal {C}}_{1}$ $b\in {\mathcal {C}}_{2}$ $n$

Például a decimális számrendszer esetében ebben az esetben a pozitív számok minden dekádja csak egy sorrendbe tartozik:

${\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$
${\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace$
${\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100,200,300,400,500,600,700,800,900\rbrace$

Hasonlóképpen meghatározhatja a számsorrendeket a számrendszer más alapjaihoz is. Leggyakrabban úgy

számok alaprendjei , $b=10$
alaprendelések $b=2$
számok alaprendjei . $b=e$

Számsorrend természetes nyelven

A természetes nyelvekben vannak olyan kifejezések, mint „egy nagyságrenddel több”, „sok nagyságrenddel több”, „pár nagyságrenddel kevesebb”. A legtöbb esetben a decimális exponensek implikáltak, vagyis ezek a kifejezések úgy olvashatók, hogy „körülbelül tízszer több”, „kb. 1-szer több, hol elég nagy”, „kb. 100-szor kevesebb”. Emellett a közelmúltban elterjedt az "N-rendű" kifejezés hibás használata, ahol N egy bizonyos szám. Ugyanakkor a szövegkörnyezet alapján jól látható, hogy „körülbelül N”-re gondolunk, ami természetesen nem felel meg a „számsorrend” fogalom definíciójának. $10^{n}$ $n$

Számsorrend és logaritmikus függvény

A szomszédos rendekhez tartozó megfelelő számokat így írhatjuk fel , ahol a számok közül az első. Ez a tulajdonság határozza meg a kapcsolatot a számok sorrendjének fogalma és az exponenciális és inverz logaritmikus függvény között . ${\mathcal {C}}_{{n}},{\mathcal {C}}_{{n+1}},{\mathcal {C}}_{{n+2}},\ldots ,{ \mathcal {C}}_{{n+d}}$ $x,rx,r^{2}x,\ldots ,r^{d}x$ $x\in {\mathcal {C}}_{{n}}$

Konkrétan a logaritmikus függvény fogalmát használva megfogalmazható egy szükséges feltétele annak, hogy a számok ugyanabba a sorrendbe tartozzanak: Adjunk meg valamilyen sorrendre felosztást a pozitív számok halmazán. Ha két szám azonos sorrendű, akkor . $\left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1$

Bizonyíték

Valóban, legyen a és a számok a sorrendhez tartozó minimális és maximális szám . Ha a szám is hozzátartozik a megbízáshoz , akkor az értékének meg kell felelnie a feltételnek . Ezzel egyidejűleg a és a számok a sorrend melletti megbízáshoz tartoznak , ill . Ebből az következik, hogy bármely számra ebben a sorrendben a reláció teljesül . $m\in {\mathcal {C}}_{n}$ $M\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $m\leq x\leq M$ $rm$ ${\frac {1}{r}}M$ ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{{n+1}}$ ${\mathcal {C}}_{{n-1}}$ $x$ ${\frac {1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm$

Legyen két szám és tartozik a megadott sorrendbe . Akkor . $x_{1}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $-1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{ \frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1$

Rendelési különbség

Ha két szám és a pozitív számok sorrendjeihez tartozik, és a pozitív számok valamilyen sorrendbe oszlanak, akkor az értéket néha e számok sorrendjének különbségének nevezik. $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}\in {\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}$

Két számnál és a sorrendjük különbsége a -nál található . $x_{1}$ $x_{2}$ $d=\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor$ $x_{2}\geq x_{1}$

Bizonyíték

A rendeléshez tartozó számot választunk, amely megfelel a megrendelésből származó számnak . A sorrend meghatározása szerint létezik olyan egész szám , hogy . Ezt értjük . $x_{2}^{{\mathord {*}}}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}=r^{{-d}}x_{2}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{{\mathord {*} }}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}$

A és számok ugyanabba a sorrendbe tartoznak, ezért . Ugyanakkor a szám egy egész szám, ami azt jelenti . $x_{1}$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}<1$ $d$ $d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*)))}{x_{1 ))}\right\rfloor =\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor$

A rendelések eltérése esetén néha negatív előjellel veszik őket . $x_{2}\leq x_{1}$ $d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})$

A sorrendkülönbség nullával való egyenlősége szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a számok azonos sorrendbe tartozzanak.

Rendelési különbség általánosítása

Néha a sorrendkülönbség fogalmát általánosítják, eltávolítva az egész számok osztályába való tartozás követelményét, és a kifejezéssel határozzák meg . $d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$

Ebben az értelmezésben az olyan kifejezések, mint a „számok és legfeljebb fél nagyságrenddel különböznek” jelentést kapnak, vagyis vagy . $x_{1}$ $x_{2}$ $\left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{{\sqrt {r}}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}$

Lásd még

Linkek

Brians, Paus Nagyságrendek . Letöltve: 2013. május 9. Az eredetiből archiválva : 2017. április 22.. (határozatlan)
Nagyságrend . wolfram mathworld . Letöltve: 2017. január 3. Az eredetiből archiválva : 2017. január 6.. (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4388665-6