A Grüneisen-paraméter egy dimenzió nélküli paraméter, amely leírja a kristályrács térfogatának változásának hatását a rezgési tulajdonságaira , és ennek eredményeként a hőmérséklet-változás hatását a rács méretére vagy dinamikájára . Az általában γ -val jelölt paraméter Eduard Grüneisen nevéhez fűződik . Ez a kifejezés egy termodinamikai tulajdonságként értendő, amely a Grüneisen-modell eredeti megfogalmazásában szereplő γ i számos egyedi paraméter súlyozott átlaga a fononnemlinearitások tekintetében [ 1 ] .
A termodinamika számos tulajdonsága és deriváltja közötti ekvivalencia miatt (pl. Maxwell-relációk ) a Grüneisen-paraméternek számos olyan megfogalmazása létezik, amelyek egyformán igazak, ami számos eltérő, de egyenértékű értelmezést eredményez.
A Grüneisen-paraméter néhány megfogalmazása a következőket tartalmazza:
, |
ahol V a térfogat, és a fajlagos hőkapacitások állandó nyomáson és térfogaton, E az energia, S az entrópia, α a hőtágulás térfogati együtthatója , valamint az adiabatikus és izoterm összenyomhatóság , a hangsebesség a közegben, és ρ a sűrűség.
A fajlagos hőkapacitás és összenyomhatóság szerinti hőtágulási együttható kifejezését a Grüneisen-paraméterben Grüneisen-törvénynek is nevezik [2] .
A d -dimenziós térben párkölcsönhatású ideális kristály Grüneisen-paraméterének kifejezését a következőképpen írjuk le: [3] :
,ahol az atomközi potenciál és az egyensúlyi rácsállandó. A Grüneisen paraméter és a Lennard-Jones , Morse és Mie potenciálok közötti összefüggést a táblázat mutatja.
Rács | Dimenzió | Lennard-Jones potenciál | Mi potenciál | Morse potenciál |
---|---|---|---|---|
Lánc | ||||
háromszögletű rács | ||||
FCC, BCC | ||||
"Hiperrácsok" | ||||
Általános képlet |
Egy Mie potenciállal rendelkező egydimenziós lánc Grüneisen-paraméterének kifejezése pontosan egybeesik MacDonald és Roy eredményeivel. A Grüneisen-paraméter és az interatomi potenciál kapcsolatát felhasználva egyszerű szükséges és elégséges feltételt lehet levezetni a negatív hőtáguláshoz párkölcsönhatású tökéletes kristályokban.
.A Grüneisen-paraméter részletes leírása szigorú próbát tesz az interatomi potenciál típusára vonatkozóan [4] .
Ennek a paraméternek a fizikai jelentése kibővíthető a termodinamikának egy ésszerű mikroszkópos modelljével kombinálva a kristályban lévő atomok vibrációjára. Ha az egyensúlyi helyzetéből kiszorított atomra ható helyreállító erő az atom elmozdulásában lineáris , akkor az egyes fononok ω i frekvenciái nem függenek a kristály térfogatától vagy más fononok jelenlététől, sem a hőtágulástól ( és így γ ) nulla. Ha a helyreállító erő nemlineárisan függ az elmozdulástól, az ω i fononfrekvenciák a hangerővel változnak . Egy indexű egyedi rezgésmód Grüneisen-paraméterét a megfelelő frekvencia (negatív) logaritmikus deriváltjaként definiáljuk :
Az atomi rezgések kvázi-harmonikus közelítésével a makroszkopikus Grüneisen-paraméter ( γ ) azzal a leírással hozható kapcsolatba, hogy a kristályon belüli atomok ( fononok ) rezgési frekvenciái hogyan változnak térfogatváltozással (azaz γ i ). Például ezt meg lehet mutatni
ha súlyozott átlagként határozzuk meg
hol vannak az egyes fononmódusok hozzájárulása a hőkapacitáshoz úgy, hogy a teljes hőkapacitás egyenlő
Ennek bizonyításához be kell vezetni a részecske hőkapacitását ; Akkor
.Így elég bizonyítani
.Bal oldal:
Jobb oldal:
Ezen kívül ( Maxwell kapcsolatai ):
Ez a derivált kvázi-harmonikus közelítéssel könnyen meghatározható, mivel csak ω i V - függő.
Ez ad