Az érdekes számparadoxon egy félig humoros paradoxon, amely abból fakad, hogy a természetes számokat „érdekes” és „unalmas” kategóriába sorolják. E paradoxon szerint minden természetes szám érdekes. Ennek az állításnak a bizonyítása az " ellentmondásos " módszerrel történik : ha van egy nem üres halmaz az érdektelen természetes számoknak, akkor ez a halmaz tartalmazza a legkisebb számot, de a legkisebb érdektelen szám már önmagában is érdekes - ami ellentmondást hoz létre [1] [2] [3] .
A paradoxon szigorúbban megfogalmazott "bizonyítása" így nézhet ki [3] .
Tétel. Nincsenek érdektelen természetes számok .
Bizonyíték . Tegyük fel, hogy a tétel hamis , azaz van egy nem üres természetes számhalmaz , amely nem érdekes. Tekintettel arra, hogy a természetes számok halmaza jól rendezett , az érdektelen számok sorozatában kell lennie valami legkisebb számnak. Egy ilyen egyedi tulajdonsággal ez a szám már nem nevezhető érdektelennek, ezért nem szerepelhet az érdektelen számok sorában.
Az összes szám „érdekesre” és „érdektelenre” való felosztására tett kísérlet a definíció paradoxonához vagy antinómiájához vezet. Minden olyan kísérlet, amely a természetes számokat két halmazra osztja: „érdekes” és „unalmas”, kudarchoz vezet. Mivel valami érdekesnek való meghatározása szubjektív, itt az önreferencia félig tréfás alkalmazásának tekinthető , amelyet paradoxon létrehozására használnak. A paradoxon megszűnik, ha az „érdekes” fogalmát objektíven határozzuk meg, például:
stb.
Mivel a matematika területén számos jelentős, önreferenciát használó munka létezik (például Gödel hiányossági tétele ), a leírt paradoxon számos kutatási területen komoly problémákat vet fel.
A paradoxonnak ez a változata csak a természetes sorrendű, jól rendezett halmazokra terjed ki, például a természetes számokra; az argumentum nem vonatkozik valós számokra .
A paradoxon egyik megoldási javaslata azt állítja, hogy az első érdektelen számot már önmagában ez a körülmény teszi érdekessé. Például, ha a 39 és a 41 két érdektelen szám lenne, akkor a 39 érdekesnek tekinthető, míg a 41 érdektelen maradna, mert nem ez az első érdektelen szám. Ez a döntés azonban hibás, mert a paradoxont ellentmondás bizonyítja: feltételezve, hogy valamely szám érdektelen, arra a következtetésre jutunk, hogy ez a szám éppen ettől érdekes, tehát érdektelen szám nem létezhet. A döntések célja különösen nem az érdekes vagy érdektelen számok azonosítása, hanem annak felvetése, hogy a számoknak elvileg lehetnek-e ilyen tulajdonságai.
A bizonyítás gyenge pontja az, hogy nem világos, hogy mi számít egy szám "érdekességének". Ha azonban feltételezzük, hogy az „ érdekes predikátum ” a „természetes számok érdekes tulajdonságainak” egy bizonyos véges listájához kapcsolódik, és ez a lista tartalmazza a „legkisebb szám, amely nem rendelkezik ebből a listából” tulajdonságot, akkor a paradoxon merül fel. Hasonló módon az önreferenciát használják a szorosan kapcsolódó Berry-paradoxonban is . Mivel a paradoxon az "érdekes" definíciójában rejlik, csak azokra az emberekre vonatkozik, akiknek sajátos nézőpontjuk van a számokról; ha valaki számára minden szám érdektelen, és nem találja érdekesnek, hogy a nulla az első érdektelen szám (ennek a személynek a világképében), akkor a paradoxon nem merül fel.