A Burali-Forti paradoxon

A Burali-Forti paradoxon azt mutatja, hogy az összes sorszámból álló halmaz létezésének feltételezése ellentmondásokhoz vezet, ezért ellentmondásos a halmazelmélet , amelyben lehetséges egy ilyen halmaz felépítése.

Megfogalmazás

A matematikai irodalomban különböző terminológián és jól ismert tételeken alapuló különféle megfogalmazások találhatók. Íme egy lehetséges megfogalmazás.

Bebizonyítható, hogy ha a sorszámok tetszőleges halmaza, akkor az összeg-halmaz egy olyan sorszám, amely nagyobb vagy egyenlő, mint az egyes elemei . Tegyük fel, hogy ez az összes sorszám halmaza. Ekkor egy sorszám nagyobb vagy egyenlő, mint bármelyik szám a -ban . De akkor az és egy sorszám, ráadásul már szigorúan nagyobb, ezért nem egyenlő egyik számmal sem . De ez ellentmond annak a feltételnek, amely az összes sorszám halmaza. $x$ $\textstyle\bigcup x$ $x$ $\Omega$ $\textstyle\bigcup \Omega$ $\Omega$ $\textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1$ $\Omega$ $\Omega$

Történelem

A paradoxont Cesare Burali-Forti fedezte fel1897 - ben , és az egyik első paradoxonnak bizonyult, amely megmutatta, hogy a naiv halmazelmélet inkonzisztens , és ezért alkalmatlan a matematika igényeire. Az összes sorszámból álló halmaz nemléte ellentmond a naiv halmazelmélet koncepciójának, amely lehetővé teszi olyan halmazok felépítését, amelyek elemek tetszőleges tulajdonságával rendelkeznek, azaz „minden olyan halmaza, amely ” ( ) alakú. $x$ $P$ $\{x \mid P\}$

A modern axiomatikus halmazelmélet szigorú korlátozásokat ír elő a feltétel típusára vonatkozóan , amelyekkel halmazokat lehet alkotni. Az olyan axiomatikus rendszerekben, mint a Gödel - Bernays , megengedett a tetszőleges kifejezés létrehozása , de azzal a feltétellel, hogy kiderülhet, hogy nem halmaz, hanem osztály . $P$ $\{x \mid P\}$ $P$

Lásd még

Irodalom

Er, Justin M. Az absztrakció axiómája által okozott halmazelméleti antinómiák történeti leírása .