Bertrand paradoxona (valószínűség)

A Bertrand-féle paradoxon probléma a valószínűségszámítás klasszikus definíciójában . Joseph Bertrand a Calcul des probabilités (1888) című művében leírta a paradoxont ​​annak példájaként, hogy a valószínűséget nem lehet egyértelműen meghatározni, amíg meg nem határozták a valószínűségi változó kiválasztásának mechanizmusát vagy módszerét [1] .

Bertrand megfogalmazása

Bertrand paradoxona a következő: Tekintsünk egy körbe írt egyenlő oldalú háromszöget . A kör egy akkordját véletlenszerűen választjuk ki. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a választott húr hosszabb, mint a háromszög oldala?

Bertrand három megoldást javasolt, amelyek látszólag helyesek, de eltérő eredményeket adnak.

  1. A "véletlenszerű végek" módszere: véletlenszerűen választunk ki két pontot a körön, és húzunk át egy akkordot. A kívánt valószínűség kiszámításához képzeljük el, hogy a háromszöget úgy forgatjuk el, hogy az egyik csúcsa egybeessen az akkord végével. Figyeljük meg, hogy ha a húr másik vége a háromszög másik két csúcsa közötti íven fekszik, akkor a húr hossza nagyobb, mint a háromszög oldala. A figyelembe vett ív hossza megegyezik a kerület harmadával, a klasszikus definíció szerint a szükséges valószínűség egyenlő .
  2. A "véletlenszerű sugár" módszer: rögzítse a kör sugarát , véletlenszerűen válasszon egy pontot a sugáron. Szerkesszünk egy, a rögzített sugárra merőleges, a kiválasztott ponton átmenő húrt. A kívánt valószínűség meghatározásához képzeljük el, hogy a háromszöget úgy forgatjuk el, hogy az egyik oldala merőleges egy rögzített sugárra. Egy húr akkor hosszabb, mint egy háromszög oldala, ha a középpontja közelebb van a középponthoz, mint a rögzített sugarú háromszög metszéspontja. A háromszög oldala felezi a sugarat, így a húrválasztás valószínűsége hosszabb, mint a háromszög oldala .
  3. "Véletlenszerű középpont" módszere: véletlenszerűen kiválasztunk egy tetszőleges pontot a körön belül, és megszerkesztünk egy akkordot, amelynek középpontja a kiválasztott pontban van. Egy húr hosszabb, mint egy egyenlő oldalú háromszög oldala, ha a kiválasztott pont a háromszögbe írt körön belül van. A beírt kör területe a nagyobbik területének 1/4-e, tehát a kezdeti valószínűség .

A módszer megválasztása a következőképpen is ábrázolható. Az akkordot egyértelműen a felezőpontja határozza meg. Mindhárom fent leírt módszer más és más, mindegyiknek megvan a maga eloszlása ​​a középnek. Az 1. és 2. módszer két különböző nem egyenletes eloszlást képvisel, míg a harmadik módszer egyenletes eloszlást ad. Másrészt, ha megnézzük az alábbi akkordképeket, akkor észrevehető, hogy a 2. módszer akkordoka egyenletesen kitöltött kört ad, az 1. és 3. módszer pedig nem ad ilyen képet.


Más elosztások is kidolgozhatók; sok közülük különböző arányú akkordokat ad, amelyek hosszabbak, mint a beírt háromszög oldala.

A klasszikus megoldás

A probléma klasszikus megoldása tehát attól függ, hogy milyen módszerrel választják ki véletlenszerűen az akkordot. Akkor és csak akkor, ha a véletlen kiválasztási módszer adott, a problémának van egy jól definiált megoldása. A kiválasztási módszer nem egyedi, így nem lehet egyetlen megoldás sem. A Bertrand által bemutatott három megoldás különböző kiválasztási módszereknek felel meg, és további információk hiányában nem indokolt egyiket sem előnyben részesíteni.

Ez és a valószínűség klasszikus definíciójának más paradoxonai indokolják a szigorúbb megfogalmazásokat, amelyek gyakorisági valószínűségeket és szubjektív Bayes-valószínűségeket foglalnak magukban .

Janes megoldása a bizonytalanság elvét alkalmazva

Edwin Jaynes 1973-as "The Well-posed Problem" [2] című munkájában megoldást javasolt Bertrand paradoxonjára a bizonytalanság elvén : ne használjunk olyan információkat, amelyek nem szerepelnek a feltételben. Jaynes rámutatott, hogy Bertrand problémája nem határozza meg a kör helyzetét vagy méretét, és úgy érvelt, hogy ilyen esetben minden egzakt és objektív megoldásnak „közömbösnek” kell lennie a méret és a helyzet szempontjából. Más szóval, a megoldásnak invariánsnak kell lennie a dimenziók és transzformációk tekintetében.

Szemléltetésképpen: tegyük fel, hogy az akkordok véletlenszerűen fekszenek egy 2-es átmérőjű körben (mondjuk miután messziről szívószálat dobtak a körbe). Ezután egy másik, kisebb átmérőjű kört (például 1,1) helyezünk a nagyra. Most az akkordok eloszlásának a kisebb körben ugyanolyannak kell lennie, mint a nagyobbban. Ha a kisebb kört áthelyezi a nagyobbra, a valószínűség nem változhat. Ezt egyértelműen ki kell fejezni a 3. módszer megváltoztatása esetén: az akkordok eloszlása ​​a kis körben minőségileg eltérhet a nagy körben való eloszlásuktól.

Ugyanez a helyzet az 1. módszerrel, bár a grafikus ábrázolásban bonyolultabb. Csak a 2. metódus mind dimenziós, mind transzformációs invariáns, a 3. módszer csak dimenzióinvarianciával rendelkezik, az 1. módszer pedig nincs.

Jaynes azonban nemcsak az invarianciát használta e módszerek elfogadására vagy elutasítására: ez ugyanazt jelentené, mint egy olyan, még le nem írt módszer létezésének lehetőségét, amely megfelel a józan ész kritériumainak . Jaynes az invarianciát leíró integrál egyenleteket használta az eloszlás valószínűségének pontos meghatározására. Erre a problémára az integrálegyenlőségeknek valóban van egy egyedi megoldása, az úgynevezett 2. módszer, a véletlen sugár módszer.

Fizikai kísérletek

A 2. módszer az egyetlen olyan megoldás, amelynek transzformációs invarianciája van, amely bizonyos fizikai rendszerekben (például a statisztikus mechanikában és a gázfizikában ), valamint Janes által javasolt kísérletben a szívószálak véletlenszerűen, távolról körbe dobásával. Mindazonáltal más kísérleteket is végezhetünk, amelyek más módszerekre is eredményt adnak. Például, hogy az 1. módszerben, a véletlenszerű befejezési módszerben megoldást találjunk, egy forgó mutatót rögzíthetünk a kör közepére, és hagyjuk, hogy két független forgatás eredménye jelölje ki az akkordok kezdő- és végpontját. Ahhoz, hogy a 3. módszerben a megoldáshoz jussunk, le kell fedni a kört melasszal, és az akkord felezőpontjaként meg kell jelölni az első pontot, ahol a légy véletlenül leszáll. Számos megfigyelő tervezett kísérleteket különböző megoldások előállítására és az eredmények empirikus ellenőrzésére . [3] [4] [5]

Jegyzetek

  1. ↑ Sekey G. Paradoxonok a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában. - M . : Mir, 1990. - S. 50-54. — 240 s.
  2. ↑ Jaynes, E.T. (1973), The Well-Posed Problem , Foundations of Physics 3. kötet: 477–493, doi : 10.1007/BF00709116 , < http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf > Archiválva : 2011. augusztus 12. a Wayback Machine -nél   
  3. ↑ Gardner, Martin (1987), The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions , The University of Chicago Press, p. 223–226, ISBN 978-0226282534  
  4. ↑ Tissler, P.E. (1984. március), Bertrand's Paradox , The Mathematical Gazette (The Mathematical Association). – T. 68 (443): 15–19 , DOI 10.2307/3615385 (angol)  
  5. ↑ Kac, Mark (1984. május–június), Marginalia: bővebben a véletlenszerűségről, American Scientist 72. kötet (3): 282–283 .