Általános dinamikai egyenlet

A mechanika általános egyenlete a d'Alembert-Lagrange elv matematikai megfogalmazása , amely általános módszert ad dinamikai és statikai problémák megoldására, és az elméleti mechanika egyik alapelve .( [1] P.142) Ez elv egyesíti a lehetséges elmozdulások elvét és a d'Alembert elvet

Egy mechanikai rendszer egyensúlya

Egy szabad testnél, vagyis olyan testnél, amelyre nem vonatkoznak megkötések, a derékszögű koordináta-rendszerben az egyensúlyi feltételt a rendszer egyes összetevőire ható erők vetületeinek nullával való egyenlősége határozza meg. koordinátatengelyek és a testre e tengelyekhez viszonyított erők összes nyomatékának összege:

$\Sigma F_{x}(i)=\Sigma F_{y}(i)=\Sigma F_{z}(i)=0$ (egy)

és (2) $\Sigma (M_{x}(i)=\Sigma (M_{y}(i)=\Sigma (M_{z}(i)=0$

Ezen feltételek teljesülése azt jelzi, hogy a választott vonatkoztatási rendszer tehetetlen, és ezért ebben a vonatkoztatási rendszerben a test vagy nyugalomban lesz, vagy elfordulás nélkül (beleértve az elfordulást is) egyenletesen és egyenesen mozog. ( [1] P.601)

De ezeknek a feltételeknek a teljesülése nem elegendő ahhoz, hogy az egyensúly a rendszert érő külső hatásoktól függetlenül is fennmaradjon. Ehhez fenntarthatónak kell lennie .

A rendszer egyensúlya akkor tekinthető stabilnak, ha konzervativizmusának enyhe megsértésével, azaz kinetikai és potenciális energiáinak összegének külső hatás hatására bekövetkező változásával ( [1] 309. o.) összetevői kis mértékben eltérnek az egyensúlyi helyzettől. és a befolyás megszűnése után térjen vissza hozzá.

Konzervatív rendszerek esetén a rendszer egyensúlyának elégséges feltételét a Lagrange-Dirichlet-tétel határozza meg , amely szerint az egyensúly akkor stabil, ha egyensúlyának helyzete megfelel a minimális potenciális energiának ( [1] P. 797).

Mechanikai csatlakozások

Ha a test nem szabad a rárakódó kötések miatt, akkor az (1) és (2) képletűek, amelyek nem utalnak a kötések reakcióira, meghatározzák a rendszer egyensúlyát. A többi egyenlet olyan információt ad, amely lehetővé teszi a kötések reakcióinak meghatározását, ami akkor válik lehetővé, ha a kötések mereven rögzítik a rendszert, megakadályozva abban, hogy elmozduljon benne ( [1] P.601). Ellenkező esetben a csatolási reakciók figyelembevétele és a mozgásegyenletbe való beillesztése korántsem mindig megoldható problémát okoz. [2]

A lehetséges elmozdulások elve

Egy mechanikai rendszer állapotváltozását a koordinátáinak változása határozza meg, amelyek meghatározzák a szabadsági fokok számát . Számukat sok esetben kapcsolódások korlátozzák, amelyek a rendszer elemeire ható erő hatására bizonyos változásokat megakadályoznak. A koordináták megváltoztatásának fennmaradó lehetőségeit a lehetséges elmozdulások határozzák meg .

A lehetséges elmozdulások elve a testek mozgásának tudományának egyik variációs alapelve . Megállapítja a mechanikai rendszer általános egyensúlyi feltételét. Ebben az esetben egyensúly alatt egy olyan mechanikai rendszer erőhatásnak kitett állapotát értjük, amelyben a rendszert alkotó összes anyagi pont nem változtatja meg helyzetét, vagyis nyugalomban van ehhez a rendszerhez képest. Ha ezt az egyensúlyt egy inerciarendszerben figyeljük meg, akkor egy ilyen egyensúlyt abszolútnak nevezünk , egy nem inerciarendszerben az egyensúly csak relatív lesz .( [1] P.601)

Ez az elv azt mondja:

Az ideális (munkát nem végző) kötésekkel rendelkező mechanikai rendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a rendszerre ható összes aktív erő munkájának összege a rendszer esetleges elmozdulása esetén nullával egyenlő legyen ( [1] 81. o.)

$\Sigma (\delta A(i)=\Sigma (F(i)\cos \alpha (i)\delta s(i)=0$ (3)

$\delta A(i)$ van egy elemi munka, amelyet a virtuális elmozdulás irányával szögben irányított "aktív erők" hajtanak végre $F(i)$ $\alpha (i)$ $\delta s(i)$

Az aktív erőkre vonatkozó fenntartás előírja a tehetetlenségi erők hiányát, vagyis a lehetséges elmozdulások figyelembe vételét egy tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben.

Lényeges, hogy az aktív erők számába a kötések nehézkes, esetenként matematikai leírására egyáltalán nem alkalmas reakciói is beletartoznak. Ebben az esetben hatásosnak bizonyul az abszolút merev kötések figyelembe vétele , amelyek nem deformálódnak és ezért nem végeznek munkát. Az inerciális referenciakeretekhez hasonlóan az ilyen hivatkozások is absztrakciók, amelyek csak akkor fogadhatók el, ha az elfogadásukból eredő hibák nem haladják meg a korábban megállapodott értéket. De feltéve, hogy a kötések abszolút merevek, lehetséges, hogy egy mechanikai rendszer egyensúlyi problémájának megoldása során a lehetséges elmozdulások elve szempontjából a kötés reakcióját általában kizárjuk a számításból .( [2 ] P.178 −189)

d'Alembert elve

A nem egyensúlyi állapotban lévő mechanikai rendszerek esetében a kapcsolási reakciók nem hagyhatók figyelmen kívül. E kötések abszolút merevségének feltételezése mellett azonban kiderül, hogy ebben az esetben a kötés fogalma elvesztette fizikai tartalmát, és megszűnt a kötések reakcióinak koordináták függvényében történő kifejezésének lehetősége [2 ] , ezért lehetetlen mozgásdifferenciálegyenleteket felírni.

Ebből a nehézségből d'Alembert javasolta a kiutat.

Newton második törvénye a következő formában van írva:

${m_{i}}{\vec a}$ = + (4) ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}_{b},$

ahol a kötések reakcióereje hozzáadódik a testre ható erőhöz ${\vec F}_{b}$

Ezután az egyenlőség minden feltétele átkerül balra:

( - ) + = 0 (5) ${\vec {F}}$ ${m_{i}}{\vec a}$ ${\vec F}_{b}$

Megjelenik az erőegyensúly, ami lehetővé teszi az esetleges elmozdulások elvének formális alkalmazását. Ezért itt lehetővé vált a kötések reakcióerejének figyelmen kívül hagyása [2] .

De az erő (- ) nem más, mint a Newton-féle harmadik törvényből eredő reakcióerő vagy a newtoni tehetetlenségi erő , amely nem vonatkozik a testre. Itt egy mesterséges technikának köszönhetően ehhez a testhez van rögzítve. Így egy paradox helyzet jött létre, amely abban áll, hogy a testre kölcsönösen kiegyenlítő erők hatnak, de a test ennek ellenére gyorsulással mozog. ${m_{i}}{\vec a}$

Ezért az erő (- ), amelyet d'Alembert-féle tehetetlenségi erőnek neveznek , mivel nem objektív fizikai folyamatok következménye, hanem szubjektív akarat terméke, minden bizonnyal fiktív [2] . ${m_{i}}{\vec a}$

A d'Alembert-Lagrange elv

Kezdetben a d'Alembert-elv nem tartalmazott említést a tehetetlenségi erőkről. De idővel a (- ) vektor alatt elkezdte megérteni a tehetetlenségi erőt [3] (Referencia: [2] P.131). ${m_{i}}{\vec a}$

Ideális kapcsolatokkal rendelkező mechanikai rendszerben az aktív erők és a tehetetlenségi erők által bármely lehetséges (virtuális) elmozduláson végzett elemi munka összege nullával egyenlő.

A dinamika általános egyenlete

Így van írva:

\Sigma (\delta A_{a}(i)+\delta A_{j}(i))=0

(6)

vagy más módon:

\Sigma (F_{a}(i)\cos \alpha (i)+F_{j}(i)\cos \beta (i))\delta s(i)=0.

(7)

Itt van az "aktív erők" által végzett elemi munka - x = a index (azaz olyan erők, amelyek eredete elvileg nyomon követhető) és az Euler-féle tehetetlenségi erők - x = j (azaz az erők, amelyek az más aktív erők nem önmagára hatnak a rendszer i -edik komponensére, hanem a vonatkoztatási rendszerre, ami ennek következtében megváltoztatta a gyorsulását). $\delta A_{x}(i)$

A (7)-ben feltételezzük, hogy a munkát egy olyan erő okozza, amely az aktív erőre és a tehetetlenségi erőre bezárt szöget zár be a virtuális elmozdulás irányával . $F_{x}(i)$ $\alpha (i)$ $\beta (i)$ $\delta s(i)$

Megjegyzés

A mechanika általános egyenlete figyelembe veszi a tehetetlenségi erők munkáját az aktív erők munkájával együtt. Ez azt jelenti, hogy a tehetetlenségi erőkre (pontosabban az Euler-féle tehetetlenségi erőkre) vonatkozó általános mechanikai elvek szempontjából „... el kell ismerni, hogy nincs alapos okunk kételkedni az erők valóságában. a tehetetlenség...” ( [2] 178. o.)

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fizikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. A. M. Prohorov. Red.col. D. M. Alekszejev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov és mások - M .: Szovjetunió enciklopédia, 1983.-323 p., il, 2 színes ív ill.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Khaykin, Szemjon Emmanuilovics . Tehetetlenségi és súlytalansági erők . M., 1967. "Tudomány" kiadó. A fizikai és matematikai irodalom főkiadása.
↑ Nikolai E. L. gyűjtemény "Proceedings of the Leningrád Industrial Institute" No. 6,1936, ONTI, Leningrád