A pillanatok általánosított módszere

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. március 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A momentumok általánosított módszere ( GMM ; angolul GMM - Generalized Method of Moments ) a matematikai statisztikában és az ökonometriában az eloszlások és ökonometriai modellek ismeretlen paramétereinek becslésére használt módszer, amely a klasszikus momentummódszer általánosítása . A módszert Hansen javasolta 1982-ben. A klasszikus mozzanatmódszerrel ellentétben a kényszerek száma nagyobb lehet, mint a becsült paraméterek száma.

A módszer lényege

Legyen egy x véletlenvektor eloszlása függő valamilyen ismeretlen paraméterű b vektortól (a paraméterek száma k ). Legyen még néhány g(x, b) függvény (a számuk q nem kisebb, mint a becsült paraméterek száma), amelyeket momentumfüggvényeknek (vagy egyszerűen csak pillanatoknak ) nevezünk, amelyekre elméleti megfontolásból feltételezzük, hogy

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

A momentumok módszerének alapötlete, hogy pillanatviszonyok között a matematikai elvárások helyett a mintaanalógjaikat – mintaeszközöket használjuk.

${\hat {m}}(b)=\overline {g(x,b)},$

amelyeknek a nagy számok törvénye szerint kellően gyenge feltételek mellett aszimptotikusan konvergálniuk kell a matematikai elvárásokhoz. Mivel általános esetben a pillanatokra vonatkozó feltételek száma nagyobb, mint a becsült paraméterek száma, ennek a korlátozási rendszernek nincs egyedi megoldása.

A momentumok általános módszere (GMM) egy olyan becslés, amely minimalizálja a pozitív-definiált másodfokú formát a mintafeltételektől az olyan pillanatokig, amelyekben matematikai elvárások helyett minta átlagokat használnak:

${\hat {b}}_{{GMM}}=\arg \min _{{b}}{\hat {m}}(b)^{T}W{\hat {m}}(b),$

ahol W valamilyen szimmetrikus pozitív határozott mátrix.

A súlymátrix tetszőleges lehet (pozitív határozottságot figyelembe véve), de ez bebizonyosodott , hogy a leghatékonyabbak a GMM-becslések, amelyek súlymátrixa megegyezik a momentumfüggvények inverz kovarianciamátrixával . Ez az úgynevezett hatékony GMM . $W=V_{g}^{{-1}}$

Mivel azonban ez a kovarianciamátrix a gyakorlatban nem ismert, kétlépcsős eljárást alkalmaznak ( kétlépcsős GMM - Hansen, 1982):

1. lépés. A modellparaméterek becslése GMM segítségével történik egységsúlymátrixszal.

2. lépés: A mintaadatok és az első lépésben talált paraméterértékek alapján megbecsüljük a momentumfüggvények kovarianciamátrixát, és az így kapott becslést felhasználjuk az effektív GMM-ben. ${\hat {V}}_{g}=\overline {g(x,{\hat {b}})g(x,{\hat {b}})^{T}}$

Ez a kétlépéses eljárás folytatható ( iteratív GMM ): a második lépésben a modellparaméter-becslések segítségével ismét megbecsülik a pillanatnyi kovariancia mátrixot, és ismét alkalmazzák az effektív GMM-et stb. iteratív módon, amíg el nem érik a kívánt pontosságot.

Megközelíthető a célfüggvény numerikus minimalizálása ismeretlen paraméterek tekintetében is . Így a paraméterek és a kovarianciamátrix egyidejűleg kerülnek kiértékelésre. Ez az úgynevezett Continuously Updated GMM (Hansen, Heaton, Yaron, 1996). ${\hat {m}}^{T}(b){\hat {V}}_{g}^{{-1}}(b){\hat {m}}(b)$ $b$

Method Properties

Az általánosított momentummódszer becslései kellően gyenge körülmények között konzisztensek, aszimptotikusan normálisak, és az effektív GMM becslései is aszimptotikusan hatékonyak. Meg lehet mutatni, hogy

{\sqrt {n}}({\hat b}_{{GMM}}-b){\xjobbra {d}}N(0,V_{{b}}).

Általában

$V_{{b}}=(G^{T}WG)^{{-1}}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{{-1}}$

ahol G a g első deriváltjainak mátrixának elvárása a paraméterek tekintetében. Hatékony GMM esetén a kovariancia mátrix képlete jelentősen leegyszerűsödik:

$V_{b}=G^{T}V_{g}^{{-1}}G.$

J-teszt

A GMM használatakor fontos teszt a túlazonosítási kényszerek (J-teszt) . A nullhipotézis az, hogy a pillanatokra vonatkozó feltételek (korlátozások) fennállnak (vagyis a modell feltételezései helyesek). Az alternatíva az, hogy tévednek.

A tesztstatisztika megegyezik a GMM célfüggvény értékének és a megfigyelések számának szorzatával. A nullhipotézissel

$J=n{\hat {m}}^{T}({\hat {b}}){\hat {V}}_{g}^{{-1}}{\hat {m}}({ \hat {b))))~{\xjobbra nyíl {d}}~\chi ^{2}(qk).$

Így, ha a statisztikai értékek nagyobbak, mint az eloszlás kritikus értéke egy adott szignifikancia szinten , akkor a korlátozások elutasításra kerülnek (a modell nem megfelelő), ellenkező esetben a modell megfelelőnek minősül. $\chi ^{2}(qk)$

Lásd még

Irodalom

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ökonometria. Kezdő tanfolyam. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .