Homályos készlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. szeptember 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A homályos halmaz (néha fuzzy [1] , ködös [2] , bolyhos [3] ) egy olyan fogalom, amelyet Lotfi Zadeh 1965 - ben vezetett be a "Fuzzy Sets" című cikkében az Information and Control [4] folyóiratban , amivel kibővítette a klasszikus halmaz fogalmát , feltételezve, hogy egy halmaz karakterisztikus függvénye (Zade a fuzzy halmaz tagsági függvényének nevezi ) bármilyen értéket felvehet az intervallumban , nem csak a vagy értékeket . Ez a fuzzy logika alapfogalma . $[0, 1]$ $0$ $egy$

Elavult név: homályos halmaz [5] [6] ,

Definíció

A fuzzy halmaz egy univerzális halmaz elemeiből és a megfelelő tagsági fokokból álló rendezett párok halmaza : $A$ $x$ $x$ $\mu _{A}(x)$

A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}

továbbá egy tagsági függvény (a közönséges crisp halmazok karakterisztikus függvénye fogalmának általánosítása ), amely azt jelzi, hogy egy elem milyen mértékben (mértékben) tartozik egy fuzzy halmazhoz . A függvény értéket vesz fel valamilyen lineárisan rendezett halmazban . A készletet tartozékok készletének nevezzük , gyakran egy szegmenst választanak ki szegmensként . Ha (vagyis csak két elemből áll), akkor a fuzzy halmaz közönséges crisp halmaznak tekinthető. $\mu _{A}(x)$ $x$ $A$ $\mu _{A}(x)\$ $M$ $M$ $M$ $[0, 1]$ $M=\{0,1\}\$

Alapdefiníciók

Legyen egy fuzzy készlet az univerzális készlet elemeivel és egy kiegészítő készlettel . Akkor: $A$ $X\$ $M=[0,1]$

egy fuzzy halmaz hordozója ( tartója ) a halmaz ; $\operatorname {supp} A$ $\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}$
az értéket a fuzzy halmaz magasságának nevezzük . A fuzzy halmaz akkor normális , ha magassága . Ha a magasság szigorúan kisebb , mint , a fuzzy halmazt szubnormálisnak nevezzük ; $\sup _{{x\in X}}\mu _{A}(x)$ $A\$ $A\$ $egy\$ $egy\$
fuzzy halmaz üres, ha . Egy nem üres szubnormális fuzzy halmaz normalizálható a képlettel $\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0$ $\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)))$ ;
fuzzy halmaz unimodális , ha csak az egyiken ; $\mu _{A}(x)=1\$ $x\$ $X\$
olyan elemeket , amelyeket a fuzzy halmaz átmeneti pontjainak nevezünk . $x\X-ben$ $\mu _{A}(x)=0{,}5$ $A\$

Fuzzy halmazok összehasonlítása

Legyen és az univerzális halmazon definiált fuzzy halmazok . $A$ $B$ $x$

$A$ szerepel a -ban , ha a halmazhoz tartozó tagsági függvény bármely eleme kisebb vagy egyenlő értéket vesz fel, mint a halmaz tagsági függvénye : $B$ $x$ $A$ $B$ $A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ .
Ha a feltétel nem mindenre teljesül , akkor a fuzzy halmaz szerepeltetési fokáról beszélünk , amit a következőképpen definiálunk: $\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ $x\X-ben$ $A$ $B$ $l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$ , hol . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\))$
Két halmazt egyenlőnek mondunk , ha benne vannak egymásban: $A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$ .
Ha a tagsági függvények értékei és közel egyenlőek egymással, akkor a fuzzy halmazok egyenlőségi fokáról beszélünk, és például a formában $\mu _{A}(x)$ $\mu _{B}(x)$ $A$ $B$ $E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|$ , hol . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\))$

A fuzzy halmazok tulajdonságai

$\alpha$ A fuzzy halmaz szelete , jelölése : a következő egyértelmű halmaz: $A\subseteq X$ $A_{\alpha}$

{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \))

azaz a következő jellemző függvény (tagsági függvény) által meghatározott halmaz:

\chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{mátrix}}\right.

Egy fuzzy halmaz -szeletére a következő következtetés igaz: $\alpha$

\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}

Egy fuzzy halmaz akkor és csak akkor konvex , ha a következő feltétel teljesül: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{ A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

bármely és . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

Egy fuzzy halmaz akkor és csak akkor konkáv , ha a következő feltétel teljesül: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{ A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

bármely és . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

Műveletek fuzzy halmazokon

Sok kiegészítővel $M=[0,1]\$

A fuzzy halmazok metszéspontja egy fuzzy részhalmaz egy tagsági függvénnyel, amely a tagsági függvények minimuma, és : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
A fuzzy halmazok szorzata egy tagsági függvénnyel rendelkező fuzzy részhalmaz : $A$ $B$ $\mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ .
A fuzzy halmazok uniója egy fuzzy részhalmaz, amelynek tagsági függvénye a tagsági függvények maximuma, és : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
A fuzzy halmazok összege egy fuzzy részhalmaz egy tagsági függvénnyel: $A$ $B$ $\mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B }(x)$ .
Egy halmaz negációja egy tagsági függvénnyel rendelkező halmaz : $A\$ $\overline A$ $\mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$ mindenkinek . $x\X-ben$

A műveletek alternatív ábrázolása fuzzy halmazokon

Crossing

Általánosságban elmondható, hogy a fuzzy halmazok metszéspontjának műveletét a következőképpen határozzuk meg:

\mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

ahol a függvény az úgynevezett T-norma . Az alábbiakban konkrét példák találhatók a T-norma végrehajtására : $T$

$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$
${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{mátrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1 ,\end{mátrix}}\jobbra.$
$\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{ B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}$ , for $p\geqslant 1$

Konszolidáció

Általános esetben a fuzzy halmazok kombinálásának műveletét a következőképpen határozzuk meg:

\mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

ahol a függvény a T-konormája . Az alábbiakban konkrét példák találhatók az S-norma megvalósítására : $S$

$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B }(x)$
${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{mátrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0 \end{mátrix}}\jobbra.$
$\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x) ]^{1 \over p}\}$ , for $p\geqslant 1$

Összefüggés a valószínűségszámítással

A fuzzy halmazok elmélete bizonyos értelemben a véletlenhalmazok elméletére és így a valószínűség elméletére redukálódik . A fő gondolat az, hogy a tagsági függvény értéke felfogható annak valószínűségeként, hogy egy elemet lefed valamilyen véletlenszerű halmaz . $\mu _{A}(x)\$ $x\$ $B\$

A gyakorlati alkalmazásban azonban a fuzzy halmazelmélet apparátusát általában önállóan használják, versenytársaként a valószínűségszámítás és az alkalmazott statisztika apparátusának . Például a vezérléselméletben van egy irány, amelyben fuzzy halmazokat (fuzzy vezérlőket) használnak a valószínűségszámítás módszerei helyett a szakértői vezérlők szintetizálására .

Példák

Legyen:

sok $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$
sok kiegészítő $M=[0,1]$
$A$ és két fuzzy részhalmaz $B$ $x$
- $A=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1 )\}$
- $B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2 )\}$

A fő műveletek eredményei:

útkereszteződés: ${A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}$
egy egyesület: ${A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{ 4}\mid 1)\}={A}$

Jegyzetek

↑ A Grúz SSR Tudományos Akadémiájának értesítője . - Akadémia, 1974. - S. 157. - 786 p. Archiválva : 2017. április 4. a Wayback Machine -nél
↑ Kozlova Natalya Nikolaevna. Színes világkép nyelven // Uchenye zapiski Zabaikal'skogo gosudarstvennogo universiteta. Sorozat: Filológia, történelem, orientalistika. - 2010. - Kiadás. 3 . — ISSN 2308-8753 . Archiválva az eredetiből 2017. április 4-én.
↑ Kémia és élet, XXI. század . - Vállalat "Kémia és Élet", 2008. - S. 37. - 472 p. Archiválva : 2017. április 4. a Wayback Machine -nél
↑ Lotfi A. Zadeh A komplex rendszerek és döntéshozatali folyamatok elemzésének új megközelítésének alapjai (angolból fordította: V. A. Gorelik, S. A. Orlovsky, N. I. Ringo) // Mathematics Today. - M., Tudás, 1974. - p. 5-48
↑ Leonenkov A. V. Fuzzy modellezés MATLAB és fuzzyTECH környezetben. Szentpétervár: BKhV�Peterbur, 2005. 736 p.: ill. ISBN 5.94157.087.2
↑ A. M. Shirokov. Az akvizícióelmélet alapjai . - Tudomány és technika, 1987. - S. 66. - 190 p. Archiválva : 2021. április 18. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Zadeh L. A nyelvi változó fogalma és alkalmazása közelítő döntések meghozatalára. - M . : Mir, 1976. - 166 p.
Orlov AI Optimalizálási problémák és fuzzy változók . - M .: Tudás, 1980. - 64 p.
Kofman A. Bevezetés a fuzzy halmazok elméletébe. - M . : Rádió és kommunikáció, 1982. - 432 p.
Fuzzy halmazok és lehetőségelmélet: legújabb fejlemények / R. R. Yager. - M . : Rádió és kommunikáció, 1986.
Zadeh LA Fuzzy készletek // Információ és vezérlés. - 1965. - T. 8 , 3. sz . - P. 338-353.
Orlovsky SA Döntéshozatali problémák homályos kezdeti információkkal. — M .: Nauka, 1981. — 208 p. - 7600 példány.
Orlov A. I. , Lutsenko E. V. Rendszer fuzzy intervallum matematika. — Monográfia (tudományos kiadás). - Krasznodar, KubGAU. 2014. - 600 p. [egy]