Frobenius egyenlőtlenség

A lineáris algebrában a Frobenius-egyenlőtlenség a következő egyenlőtlenség a mátrixok rangjaira :

\mathrm {rang} \,AB+\mathrm {rang} \,BC\leqslant \mathrm {rang} \,ABC+\mathrm {rang} \,B.

Ebben az egyenlőtlenségben a , és mátrixok dimenzióinak lehetővé kell tenniük egy mátrix létezését (azaz ezeknek a mátrixoknak , ill. dimenziói vannak ) . $A$ $B$ $C$ $ABC$ $i\times j$ $j\times k$ $k\times l$

Az egyenlőtlenség F. G. Frobenius matematikusról kapta a nevét , aki felfedezte .

Első bizonyíték

Ha és , akkor . $U\subset V$ $X:V\rightarrow W$ $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$

Írjuk ezt az egyenlőtlenséget erre : $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

Az is világos, hogy [1] . $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$

Második bizonyítás

Tekintsük a blokkmátrixot

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

Ha elemi transzformációk láncát alkalmazzuk egy mátrixra, ezek, mint ismeretes, nem változtatják meg a mátrix rangját. $M$

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC \\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Akkor $\mathrm {rang} \,B+\mathrm {rang} \,ABC=\mathrm {rang} \,M=\mathrm {rang} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}} \geqslant \mathrm {rang} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rang} \,AB+\mathrm {rang} \,BC$

Jegyzetek

↑ A lineáris algebra feladatai és tételei, 1996 , p. 73.

Irodalom

Carl D Meyer. Mátrixanalízis és alkalmazott lineáris algebra
Prasolov VV Lineáris algebra feladatai és tételei. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .