Markov egyenlőtlenség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. február 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Markov-féle valószínűség-elméletbeli egyenlőtlenség becslést ad annak valószínűségére , hogy egy nem-negatív valószínűségi változó abszolút értékben meghalad egy rögzített pozitív állandót a matematikai várakozása szempontjából . Bár a kapott becslés általában durva, némi képet ad az eloszlásról , ha az utóbbi nem ismert kifejezetten.

Megfogalmazás

Legyen a valószínűségi téren definiálva egy nemnegatív valószínűségi változó , amelynek matematikai elvárása véges. Akkor ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ ${\mathbb {E}}X$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} X}{a))

ahol . $a>0$

Példák

1. Legyen nemnegatív valószínűségi változó. Aztán, ha , kapunk $X\geqslant 0$ $a=2{\mathbb {E}}X$

{\mathbb {P}}(X\geqslant 2{\mathbb {E}}X)\leqslant {\frac {1}{2}}

2. Hagyja, hogy a tanulók átlagosan 3 percet késsenek, és minket az érdekel, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy egy tanuló 15 percet vagy többet késik. A fenti durva becsléshez használhatja a Markov-egyenlőtlenséget:

\mathbb {P} (|X|\geqslant 15)\leqslant {\frac {3}{15}}=0{,}2

Bizonyítás

Legyen egy nem negatív valószínűségi változó eloszlássűrűsége , akkor for $x$ $p(x)$ $a>0$

\mathbb {E} X=\int _{0}^{\infty }xp(x)dx\geqslant \int _{a}^{\infty }xp(x)dx\geqslant \int _{ a}^{\infty }ap(x)dx=a\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)

Kapcsolat más egyenlőtlenségekkel

Ha az egyenlőtlenségbe egy valószínűségi változó helyett egy valószínűségi változót helyettesítünk , akkor a Csebisev-egyenlőtlenséget kapjuk : $x$ $(Y-\mathbb {E} Y)^{2}$

\mathbb {P} (|Y-\mathbb {E} (Y)|\geq b)\leq {\frac ({\textrm {Var))(Y)}{b^{2))} .

És fordítva, egy nem-negatív valószínűségi változót egy másik valószínűségi változó négyzeteként reprezentálva úgy, hogy a Csebisev-egyenlőtlenségből megkapjuk a Markov-egyenlőtlenséget . Egy valószínűségi változó eloszlását a következőképpen határozzuk meg: , . $x$ $X=Y^{2}$ $\mathbb {E} Y=0$ $Y$ $x$ $Y$ $\mathbb {P} (Y<-{\sqrt {a)))=\mathbb {P} (Y>{\sqrt {a)))=\mathbb {P} (X>a)/2$ $\mathbb {P} (Y=0)=\mathbb {P} (X=0)$

Ha tetszőleges pozitív, nem csökkenő függvény, akkor $\phi(x)$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(\phi (X)\geqslant \phi (a)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[\phi (X)\jobbra]}{\phi (a)))

Különösen a , bármely számára ${\displaystyle \phi (x)=e^{xt))$ $t\geqslant 0$

{\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[e^{Xt}\right]}{e^{at))}= {\frac {M_{X}(t)}{e^{kukac))))

hol van a pillanatok generáló függvénye . A jobb oldalt a -hoz képest minimalizálva Csernov-egyenlőtlenséget kapunk . $M_{X}(t)$ $t$

Csernov egyenlőtlensége jobb becslést ad, mint Csebisev egyenlőtlensége, Csebisev egyenlőtlensége pedig jobb becslést, mint Markov egyenlőtlensége. Ez nem meglepő, mivel a Markov-egyenlőtlenség csak a valószínűségi változó első, Csebisev-féle – az első és a második, Csernov-féle – minden pillanatának ismeretét feltételezi . $x$

Lásd még

Linkek

Videó előadás a valószínűségi változókról, Markov és Csebisev egyenlőtlenségekről