Kolmogorov-egyenlőtlenség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2015. március 8-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 15 szerkesztést igényelnek .

A Kolmogorov-egyenlőtlenség a Csebisev-egyenlőtlenség valószínűségi változatának általánosítása , amely korlátozza annak valószínűségét, hogy független valószínűségi változók véges halmazának részösszege nem haladja meg a rögzített számot. Andrej Kolmogorov alapította az 1920-as évek közepén, és ő alkalmazta a nagy számok erős törvényének bizonyítására .

Formuláció [1] : egy közös valószínűségi téren matematikai elvárásokkal és szórással , valamint tetszőleges változóval definiált független valószínűségi változókra a következő igaz: $(\Omega ,\ F,\ Pr)$ $X_{1},\dots ,X_{n}\ :\Omega \to R$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$ $Var[X_{i}]<+\infty$ $\lambda >0$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2))} \operátornév {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2))}\sum _{k=1}^{n}\operátornév {Var} [X_{i} ]

(egy)

ahol . ${\displaystyle S_{k}=X_{1}+\pontok +X_{k))$

Ha ráadásul $\Pr(|X_{i}|\leqslant c)=1,i\leqslant n$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2 }}{\operátornév {Var} [S_{n}]}}

(2)

Bizonyítás

Jelöli

{\displaystyle A=\{\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \))

A_{k}=\{|S_{i}|<\lambda ,i=1,...,k-1,|S_{k}|\geqslant \lambda \},1\leqslant k\ leqslant n

Aztán és ${\displaystyle A=\sum A_{k))$

MS_{n}^{2}\geqslant MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k=1}^{n}{MS_{n}^{2}I_{A_ {k}}}

(hol a jelző )

én

MS_{n}^{2}I_{A_{k}}=M\left(S_{k}+\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)\ jobbra)^{2}I_{A_{k}}=

=MS_{k}^{2}I_{A_{k))+2MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k }}+M\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)^{2}I_{A_{k}}\geqslant MS_{k}^{2}I_{A_{ k}},

mivel a feltételezett függetlenség és feltételek alapján Ezért $MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k}}=MS_{k}I_{A_{k}}M\left (X_{k+1}+...+X_{n}\jobbra)=0$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$

\sum _{k=1}^{n}Var[X_{i}]=MS_{n}^{2}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{n}^ {2}I_{A_{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{k}^{2}I_{A_{k}}\geqslant \lambda ^{2}\sum _ {k=1}^{n}MI_{A_{k}}=\lambda ^{2}\sum _{k=1}^{n}\Pr(A_{k})=\lambda ^{2} Pr(A)

ami az 1. egyenlőtlenséget bizonyítja .

A 2 egyenlőtlenség bizonyításához vegye figyelembe, hogy

MS_{n}^{2}I_{A}=MS_{n}^{2}-MS_{n}^{2}I_{\bar {A}}\geqslant MS_{n}^{2 }-\lambda ^{2}Pr({\bar {A)))=MS_{n}^{2}-\lambda ^{2}+\lambda ^{2}Pr(A)

(3)

Másrészt a forgatáson $A_k$

|S_{k-1}|\leqslant \lambda ,|S_{k}|\leqslant |S_{k-1}|+|X_{k}|\leqslant \lambda +c

és ezért,

MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k}MS_{k}^{2}I_{A_{k))+\sum _{k}M(I_{A_{ k}}(S_{n}-S_{k})^{2})\leqslant (\lambda +c)^{2}\sum _{k}Pr(A_{k})+\sum _{k =1}^{n}Pr(A_{k})\sum _{j=k+1}^{n}MX_{j}^{2}\leqslant

\leqslant \Pr(A)\left[(\lambda +c)^{2}+\sum _{j=1}^{n}MX_{j}^{2}\right]=Pr( A)\left[(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}\jobbra]

(négy)

A (3) és (4) pontból azt találjuk, hogy:

Pr(A)\geqslant {\frac {MS_{n}^{2}+\lambda ^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}- \lambda ^{2))}=1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}-\lambda ^ {2}}}\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{MS_{n}^{2}}}=1-{\frac {(\lambda +c)^{ 2}}{\operátornév {Var} [S_{n}]}}

Jegyzetek

↑ Henneken, 1974 , p. harminc.

Irodalom

Billingsley, Patrick. Valószínűség és mérték (neopr.) . New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1995. - ISBN 0-471-00710-2 . (22.4. tétel)
Feller, William . Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, 1. kötet . - Harmadik kiadás. New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1968. - P. xviii + 509. — ISBN 0-471-25708-7 .
Henneken P. L., Tortra A. Valószínűségszámítás és néhány alkalmazása. — M .: Nauka, 1974. — 472 p.
Shiryaev A. N. Valószínűség. - 3. kiadás, átdolgozva. és további .. - M . : MTSNMO , 2004. (4. fejezet 2. § 1. szakasz)