Monomorfizmus

A monomorfizmus annak a kategóriának a morfizmusa , amelyben minden egyenlőség azt jelenti (más szóval, a on törölhető balról). A től- ig monomorfizmust gyakran jelöli . $m:A\–B$ ${\mathcal C}$ $m\circ f=m\circ h$ $f=h$ $m$ $x$ $Y$ $X\hook jobbra Y$

A monomorfizmus fogalmának kettőssége az epimorfizmus fogalma . (Ugyanakkor ahhoz, hogy egy morfizmus izomorfizmus legyen , általános esetben nem elég, ha bimorf – egyidejűleg monomorf és epimorf. )

A monomorfizmusok az injektív funkció fogalmának kategorikus általánosítása . Néha ezek a meghatározások egybeesnek, de általában a monomorfizmus nem felel meg az injektív függvénynek.

Kapcsolat a visszafordíthatósággal

Azok a morfizmusok, amelyeknek bal oldali inverze van, mindig monomorfizmusok. Valóban, ha a bal oldali inverze (azaz ), akkor: $l$ $f$ $l\circ f=\operátornév {id}_{{X}}$

{\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2))

Ugyanakkor nem minden monomorfizmusnak van bal oldali inverze. Például a csoportok kategóriájában , ha a -nek egy alcsoportja , akkor a beágyazás mindig monomorfizmus, de bal oldali inverz morfizmus csak akkor létezik, ha y -nak van normális komplementer csoportja (mivel a homomorfizmus magja egy normál alcsoport). A morfizmus akkor és csak akkor monomorfizmus, ha a morfizmusokra definiált indukált leképezés injektív minden Z esetében . ${\mathbf {Grp))$ $H$ $G$ $f:H\to G$ $f:H\to G$ $H$ $f:X\Y-ig$ $f_{{*}}:{\mathrm {Hom}}(Z,X)\to {\mathrm {Hom}}(Z,Y)$ $f_{{*}}h=f\circ h$ $h:Z\-X$

Kapcsolat az injektivitással

Nem minden kategóriában lehet azt mondani, hogy a halmazok valamely függvénye morfizmusnak felel meg, de ez bizonyos kategóriákra igaz . Minden ilyen kategóriában az "injektív" morfizmus monomorfizmus lesz. A halmazok kategóriájában a fordított állítás is igaz, ott a monomorfizmusok pontosan megfelelnek az injektív függvényeknek. Ez sok más kategóriában is igaz, amelyek természetesen felmerülnek a matematikában az egyetlen elem által generált szabad objektum létezése miatt . Ez például minden Abel -féle kategóriában igaz .

Ez azonban nem mindig igaz. Például az osztható (abeli) csoportok kategóriájában a szokásos csoporthomomorfizmusokkal vannak nem injektív monomorfizmusok, mint például a faktorizációs térkép . $\mathbf {Div}$ $q:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /Z$

A monomorfizmusok típusai

Egy monomorfizmust szabályosnak mondunk, ha valamilyen párhuzamos morfizmuspár kiegyenlítője .

Az extremális monomorfizmus olyan monomorfizmus, amely nem vihető át egy epimorfizmuson nem triviális módon, vagyis ha egy szélsőséges monomorfizmustepimorfizmussal ábrázolunk, akkor az izomorfizmus. $g\circ e$ $e$ $e$

Terminológia

A "monomorfizmus" és az "epimorfizmus" kifejezéspárt először Bourbaki használta , és a "monomorfizmust" az "injektív funkció" kifejezés rövidítéseként használta. Ma már szinte minden kategóriaelméletben foglalkozó matematikus biztos abban, hogy a fent megadott redukciós szabály az injektív függvény fogalmának helyes általánosítása. McLane megpróbált különbséget tenni a monomorfizmusok - egy adott kategóriába tartozó morfizmusok, amelyek injektív funkciónak felelnek meg - és az angol között. A mónikai térképek kategorikus értelemben monomorfizmusok, de ez soha nem került általános használatba.

Irodalom

McLane S. Kategóriák a dolgozó matematikusnak / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

George Bergman (1998), Invitation to General Algebra and Universal Constructions , Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .