Moduláris csoport

A moduláris csoport az űrlap összes Möbius-transzformációjának csoportja $\Gamma$

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d)),

hol vannak egész számok és . $a,\;b,\;c,\;d$ $ad-bc=1$

A moduláris csoportot a faktorcsoporttal azonosítjuk . Itt van a mátrixok csoportja ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\;\mathbb {Z} )/\{I,\;-I\))$ $SL(2;\;\mathbb {Z} )$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),

hol vannak egész számok , . $a,\;b,\;c,\;d$ $ad-bc=1$

A moduláris csoport a felső komplex félsík ( Lobacsevszkij-sík ) transzformációinak diszkrét csoportja, és lehetővé teszi a generátorok általi ábrázolást. ${\displaystyle H=\{z:\mathrm {Im} \,z>0\))$

S:z\mapsto -1/z,

T:z\mapsto z+1

és relációk , azaz egy által generált 2. rendű ciklikus csoport és egy által generált 3. rendű ciklikus csoport szabad szorzata . $S^{2}=(ST)^{3}=1$ $S$ $UTCA$

Egy moduláris csoportból történő tetszőleges transzformáció esetén a következő egyenlőség érvényesül: $g(z)={\frac {az+b}{cz+d))$

\mathrm {Im} \,g(z)={\frac {\mathrm {Im} \,z}{|cz+d|^{2}}}.\qquad \qquad (1)

Mivel a képzeletbeli rész nem nulla, és a számok és a számok egyidejűleg nem egyenlők nullával, az értéket elválasztjuk a nullától (nem lehet tetszőlegesen kicsi). Ez azt jelenti, hogy bármely pont pályáján van olyan, amelyen a képzeletbeli rész eléri a maximumot. $z$ $c$ $d$ $|cz+d|^{2}$

A moduláris csoport alapvető (kanonikus) tartománya a zárt tartomány

D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm {Re} \,z|\leqslant 1/2\}.

Könnyen ellenőrizhető (1) segítségével, hogy a moduláris csoport transzformációi nem növelik a pontok képzeletbeli részét -ból . Ebből az következik, hogy ahhoz, hogy két pont a -hoz tartozzon , a képzeletbeli részüknek meg kell egyeznie: . A következő átalakítások és pontok megfelelnek ezeknek a feltételeknek: $D$ $z,\;g(z)$ $D$ $|cz+d|^{2}=1$

$g(z)=z,\;z$ - bármely ponton;
$g(z)=z-1,\;\mathrm {Re} \,z=1/2;$
$g(z)=z+1,\;\mathrm {Re} \,z=-1/2;$
$g(z)=-1/z,\;|z|=1.$

Különösen a régió minden pontja rendelkezik triviális stabilizátorral , kivéve három: $D$

$\mathrm {St} (i)=\{1,\;S\};$
$\mathrm {St} (e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^{2}\};$
$\mathrm {St} (-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^{2}\}.$

Ebből ráadásul az is következik, hogy amikor a felső félsíkot faktorizáljuk a moduláris csoport hatására, a belső pontok injektív módon jelennek meg, míg a határpontok a pontokhoz ragasztva „tükrözik” őket az egyeneshez képest. . $D$ $\mathrm {Re} \,z=0$

Annak bizonyítására, hogy bármely pont -tól egybevágó egy -ból egy pontig , a transzformációk által generált pályáján figyelembe vesszük a maximális képzetes részt tartalmazó pontot, és egész szám eltolást használva eltoljuk úgy, hogy képének valós része nem lesz. abszolút értékben több mint 1/2. Ekkor a kép tartozik (egyébként, ha a modulusa kisebb lenne, mint 1, akkor transzformáció segítségével szigorúan meg lehetne növelni a képzeletbeli részt). $H$ $D$ $S$ $T$ $D$ $S$

Az is könnyen kimutatható, hogy az átalakítások és generálják a teljes moduláris csoportot. Legyen tetszőleges moduláris transzformáció és belső pontja . A fent leírtak szerint keressünk egy transzformációt, amely a területre fordítódik . A és a pontok -ben rejlenek , és belső, ezért . Ekkor a transzformáció a pontstabilizátorban rejlik , ami triviális. Ezért a transzformációk és az átalakítások által generált csoportban rejlik . $S$ $T$ $g$ $z$ $D$ $g'$ $g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)=z$ $g'g$ $z$ ${\displaystyle g=(g')^{-1))$ $S$ $T$

A moduláris csoport iránti érdeklődés a moduláris függvények vizsgálatához kapcsolódik , amelyek Riemann-felülete a hányadostér , amely a moduláris csoport alapvető tartományával azonosítható . Az alaptartománynak véges területe van (a Lobacsevszkij-geometria értelmében), vagyis a moduláris csoport az első típusú fuksziánus csoport . $H/\,\Gamma$ $G$ $G$