A Haken-elosztó egy kompakt P 2 -redukálhatatlan 3-elosztó , amely elég nagy , ami azt jelenti, hogy megfelelően beágyazott kétoldalas összenyomhatatlan felületet tartalmaz . Néha csak az orientálható Haken elosztókat veszik számításba, ebben az esetben a Haken elosztók kompakt orientálható irreducibilis 3 elosztók, amelyek orientálható összenyomhatatlan felületeket tartalmaznak.
A véges számú Haken-elosztó által lefedett 3-elosztót virtuális Haken-elosztónak nevezzük . A Haken virtualitási sejtés kimondja, hogy minden kompakt irreducibilis 3-sokaság véges alapcsoporttal egy virtuális Haken-fajta. Ezt a hipotézist Ian Agol igazolta.
A Haken-elosztókat Wolfgang Haken javasolta [1] . Haken [2] bebizonyította, hogy a Haken sokaságoknak van egy hierarchiája , amelyben összenyomhatatlan felületek mentén 3 golyóra oszthatók. Haken azt is megmutatta, hogy van egy véges eljárás az összenyomhatatlan felület megtalálására, ha a 3-os elosztónak van ilyen. Jaco és Ortel [3] egy algoritmust mutatott be annak meghatározására, hogy a 3-as sokaság Haken-sokató-e.
A normál felületek mindenütt jelen vannak a Haken-sokaságok elméletében, és egyszerű és merev szerkezetük természetesen algoritmusokhoz vezet.
Csak az orientálható Haken sokaságok esetét vesszük figyelembe, hogy leegyszerűsítsük a tárgyalást. Az orientálható felület szabályos szomszédsága egy orientálható 3-elosztócsőben csak a felület „megvastagított” változata, azaz egy triviális I -sheaf . Így a szabályos szomszédság egy háromdimenziós részsokaság, amelynek határa a felület két másolatát tartalmazza.
Adott egy tájolható Haken-elosztó M , ez értelemszerűen tartalmaz egy orientálható összenyomhatatlan S felületet . Vegyük az S felület szabályos szomszédságát, és távolítsuk el a belsejét M -ből , megkapjuk az M' elosztót . Lényegében M -et vágunk az S felület mentén . (Ez eggyel kisebb dimenzióban analóg egy felület kör vagy ív mentén történő vágásához.) Van egy olyan tétel, amely szerint minden orientálható kompakt sokaságnak van egy olyan komponense, amelynek határa nem gömb, végtelen számú első homológiacsoporttal rendelkezik. azt jelenti, hogy megfelelően beágyazott, kétoldalas elválaszthatatlan összenyomhatatlan felülettel rendelkezik, ezért egyben Haken-elosztó is. Így választhatunk egy másik összenyomhatatlan felületet M'-ben, és azon vághatunk. Ha végül ez a vágási sorozat olyan sokaságot eredményez, amelynek részei (összetevői) egyszerűen 3 golyóból állnak, ezt a sorozatot hierarchiának nevezzük.
A hierarchia lehetővé teszi bizonyos Haken-féle tételek indukciós bizonyítását. Először egy 3-golyós tételt bizonyítunk be. Ekkor bebizonyosodik, hogy ha a tétel igaz a Haken-sokató elvágásával kapott részekre, akkor magára a Haken-sokatra is igaz. A lényeg itt az, hogy a vágás nagyon "jó" felület mentén legyen, azaz összenyomhatatlan. Ez az indukciós bizonyítást sok esetben hangossá teszi.
Haken felvázolt egy algoritmus bizonyítékát annak ellenőrzésére, hogy két Haken-fajta homeomorf-e. A bizonyítás vázlatát Waldhausen, Johanson, Hemion, Matveev és mások független erőfeszítései töltötték ki. Azóta létezik egy algoritmus annak ellenőrzésére, hogy a 3-os sokaság Haken-sokató-e, és a 3-as sokaság felismerésének fő problémája megoldottnak tekinthető a Haken-csonkoknál.
Waldhausen [4] bebizonyította, hogy a zárt Haken-sokaságok topológiailag merevek – durván szólva a Haken-sokaságok bármely homotópiás ekvivalenciája homotópia egy homeomorfizmussal (határ esetén egy perifériás szerkezetre vonatkozó feltétel szükséges). Így a 3-sokaságokat teljesen meghatározza az alapvető csoportjuk. Emellett Waldhausen bebizonyította, hogy a Haken fajták alapvető csoportjainak van megoldható szöveges problémája. Ugyanez igaz a virtuális Hakenian sokaságra is.
A hierarchia döntő szerepet játszik William Thurston Haken-sokaságokra vonatkozó hiperbolizációs tételében , amely a 3-sokaságok geometrizálására vonatkozó forradalmi programjának része.
Johanson [5] bebizonyította, hogy az atoroidális nem gyűrűs határvonallal irreducibilis Haken 3-sokaságoknak véges leképezési osztálycsoportjai vannak . Ezt az eredményt a Mostov-féle merevség és a Thurston-féle geometrizációs tétel kombinálásával kaphatjuk meg .
Vegye figyelembe, hogy néhány példacsaládot mások is tartalmaznak.