Önkonzisztens terepi módszer

Az átlagos térelmélet vagy az önkonzisztens térelmélet a nagy és összetett sztochasztikus rendszerek viselkedésének tanulmányozása a fizikában és a valószínűségszámításban egyszerű modellek tanulmányozásán keresztül. Az ilyen modellek számos kis komponenst vesznek figyelembe, amelyek kölcsönhatásba lépnek egymással. A többi egyedi komponens adott objektumra gyakorolt hatását egy átlagolt hatás közelíti meg, aminek következtében a soktestes probléma egyrészecske problémává redukálódik.

Az ötletet először a fizikában Pierre Curie [1] és Pierre Weiss műveiben dolgozták ki , akik a fázisátalakulást írták le [2] . Hasonló megközelítések alkalmazásra találtak a járványmodellekben [3] , a sorbanálláselméletben [4] , a számítógépes hálózatelemzésben és a játékelméletben [5] .

Sok test problémája, figyelembe véve a köztük lévő kölcsönhatást, nehezen megoldható, kivéve a legegyszerűbb eseteket (véletlenszerű mezők elmélete, az egydimenziós Ising-modell ). Ezért az N -test rendszert egy jól megválasztott külső potenciállal rendelkező egyrészecske-probléma váltja fel, amely az összes többi részecske hatását a kiválasztottra cseréli. Nehezebb (például a statisztikai mechanika eloszlásfüggvényének kiszámításakor ) figyelembe venni a permutációkat a Hamilton-féle kölcsönhatás kiszámításakor, amikor az összes állapotot összegezzük. Az átlagtérelmélet célja a kombinatorikus megközelítés megkerülése. A tudomány különböző területein az átlagtérelméletet saját neveken ismerik, köztük a Bragg-Williams-közelítés, a Bethe-rácsmodell, a Landau-elmélet , a Pierre-Weiss-közelítés, a Flory-Guggins-féle megoldáselmélet, ill. a Schuytjens-Fleur elmélet.

Az átlagos térelmélet fő gondolata az, hogy a kiválasztott testen végrehajtott összes tevékenységet egy átlagos vagy hatékony kölcsönhatásra cseréljük, amelyet néha molekuláris mezőnek neveznek [6] . Ez minden soktest problémát hatékony egyrészecske problémává redukál. Az átlagtérelmélet problémájának egyszerű megoldása azt jelenti, hogy viszonylag alacsony költséggel bizonyos ismereteket szerezhetünk a rendszer viselkedéséről.

A klasszikus térelméletben a Hamilton-függvény sorozattá bővíthető, az átlagos tér közelében lévő ingadozások nagyságát használva kiterjesztési paraméterként. Az átlagmezőt tekinthetjük ennek a bővítésnek a nulladik rendjének. Ez azt jelenti, hogy az átlagtérelmélet nem tartalmaz fluktuációkat, de ez megfelel annak, hogy a kölcsönhatásokat egy középmező helyettesíti. A fluktuációk tanulmányozása során gyakran az átlagtérelmélet az első vagy másodrendű fluktuációk vizsgálatának indítóállása.

Általában nagymértékben dimenziófüggő annak meghatározása, hogy az átlagos térközelítés mennyire működik egy adott probléma esetén. Az átlagos térelméletben számos interakciót egyetlen hatékony cselekvés helyettesít. Ekkor természetesen, ha a kezdeti rendszerben lévő mezőnek vagy részecskének sok interakciós partnere van, akkor az átlagtérelmélet hatékony lesz. Ez igaz a nagy méretekre, ahol a Hamilton-függvény nagy hatássugarú erőket foglal magában, vagy amikor a részecskék megnyúlnak (például polimerek). A Ginzburg-kritérium annak formális kifejezése, hogy a fluktuációk hogyan teszik rosszá az átlagos mezőközelítést, gyakran a rendszer térbeli dimenziójától függően.

Míg az átlagos térelmélet a statisztikai mechanikában fejlődött, más területeken is alkalmazásra talált, mint például az interferencia, a gráfelmélet , az idegtudomány és a mesterséges intelligencia tanulmányozása .

Formális megközelítés

Az átlagmező elmélet formális megközelítése Bogolyubov egyenlőtlenségén alapul . Azt állítja, hogy egy Hamilton-függvényű rendszer szabad energiája

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}

felső határa van

F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}

ahol az entrópia , és az átlagolást a rendszer egyensúlyi együttese felett végezzük a Hamilton-függvénnyel . Speciális esetben, amikor a fő Hamilton-függvény interakció nélkül ír le egy rendszert, és ezért így írható fel $S_{0}$ ${\mathcal {H}}_{0}$

{\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)

ahol a statisztikai rendszer egyes összetevőinek (atomok, spinek, stb.) szabadsági fokának rövidítése, akkor a felső határ finomítását tekinthetjük az egyenlőtlenség jobb oldalának minimalizálásával. Ekkor a főrendszer minimalizálása a legjobb közelítés az adotthoz. Ez az átlagos térközelítés néven ismert. $\left(\xi _{i}\right)$

A vizsgálandó rendszer Hamilton-függvénye legtöbbször csak páronkénti kölcsönhatásokat tartalmaz, azaz

{\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{ j}\jobbra)

ahol a párkölcsönhatások halmaza. Ezután a minimalizálási eljárás formálisan végrehajtható. Úgy definiálható , mint a megfigyelhető értékek általánosított összege egy komponens szabadsági fokán (a diszkrét mennyiségek összege, a folytonos mennyiségek intergal). A szabad energiát megközelítőleg adjuk meg ${\mathcal {P}}$ ${\rm {Tr))_{i}f(\xi _{i})$ $f$

$F_{0}=\,\!$	${\rm {Tr))_{1,2,..,N}{\mathcal {H))(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _ {N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$
	$+kT\,{\rm {Tr}}_{1,2,..,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

ahol annak a valószínűsége, hogy a fő rendszert változókkal rendelkező állapotban találjuk meg . Ezt a valószínűséget a normalizált Boltzmann-tényező adja meg $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$ $(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

{\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})&{}={ \frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})}\\&{}=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_ {i}\left(\xi _{i}\right)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{ (i)}(\xi _{i})\end{igazított}}

hol van a statisztikai összeg. akkor $Z_{0}$

{\begin{aligned}F_{0}=&{}\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P))}{\rm {Tr))_{i,j}V_ {i,j}\bal(\xi _{i},\xi _{j}\jobb)P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j )}(\xi _{j})\\&{}+kT\sum _{i=1}^{N}{\rm {Tr}}_{i}P_{0}^{(i)} (\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}

A minimalizáláshoz az egy szabadságfok valószínűségére vonatkozó deriváltot vesszük, meghatározatlan Lagrange-szorzót használva a normalizáláshoz. A végeredmény egy önkonzisztens egyenletrendszer ${\displaystyle P_{0}^{(i)))$

P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_{i}^{MF}( \xi _{i})}\qquad i=1,2,..,N

ahol az átlagos mezőt úgy adjuk meg

h_{i}^{MF}(\xi _{i})=\sum _{\{j|(i,j)\in {\mathcal {P}}\}}{\rm {Tr }}_{j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

Alkalmazás

Az átlagtérelmélet számos fizikai rendszerre alkalmazható, például fázisátalakulások tanulmányozására [7] .

Ising modell

Legyen az Ising modell egy d - dimenziós rácson. A Hamilton-féle mint

{\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i))

ahol a legközelebbi szomszédok párjainak összegét jelöli , és a legközelebbi szomszédok spinjei. $\sum _{\langle i,j\rangle }$ $\langle i,j\rangle$ $s_{i}=\pm 1$ $s_{j}$

Az átlagtól való ingadozási eltérések bevezetésével a Hamilton-féle átírható $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _ {i}s_{i}

ahol a spin-ingadozásokat jelöli . ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i))$

A jobb oldalt kiterjesztve olyan tagot kaphatunk, amely csak a spin középértékétől függ, és nem függ a spin konfigurációtól. Ez a kifejezés triviális, nem befolyásolja a rendszer statisztikai tulajdonságait. A következő tag a spin és a fluktuációk átlagértékének szorzatát tartalmazza. Végül az utolsó tag a fluktuációk szorzatait tartalmazza.

Az átlagos térközelítés abból áll, hogy figyelmen kívül hagyjuk ezt a másodrendű ingadozási tagot. Ezek az ingadozások nőnek az alacsony dimenziós rendszerekben, így az átlagos térelmélet jobban működik a nagy dimenziós rendszerekben.

H\approx H^{MF}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{ j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}

A feltételek újra átrendezhetők. Ezenkívül az egyes pörgetések átlagos értéke nem függhet a helyszíntől, mivel az Ising rendszer transzlációsan invariáns. Ezért

H^{MF}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(m^{2}+2m(s_{i}-m)\right)-h\sum _{ i}s_{i}.

A szomszéd összegzése átírható így, ahol a legközelebbi szomszédok vannak , és az 1/2 tényező megakadályozza, hogy ugyanazt a tagot kétszer vegyék figyelembe, mivel minden kötés kialakításában két spin vesz részt. Az egyszerűsítés adja a végeredményt ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)))$ $nn(i)$ $én$

H^{MF}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\mathrm {eff} }}\sum _{ i}s_{i}

hol van a koordinációs szám . Ekkor az Ising Hamilton-féle fel van bontva az egyrészecskés Hamilton-féle effektív középmezővel és a szomszédos pörgetésekből származó átlagos mező összegére. Érdemes megjegyezni, hogy ez az átlagos mező közvetlenül függ a legközelebbi szomszédok számától, tehát a rendszer dimenziójától (például egy , dimenziójú hiperköbös rács esetén ). $z$ $h^{\mathrm {eff} }=h+Jzm$ $d$ $z=2d$

Ezt a Hamilton-függvényt behelyettesítjük az eloszlásfüggvénybe , és megoldjuk a hatékony egydimenziós problémát, így megkapjuk

Z=e^{-\beta Jm^{2}Nz/2}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{B}T}}\right)\right ]^{N}

hol a rácscsomópontok száma. Ez egy zárt és pontos kifejezés a rendszer eloszlásfüggvényére. Belőle ingyenes energiához juthat, és megtudhatja a kritikus indexeket. Konkrétan az m mágnesezettséget kaphatjuk meg függvényében . $N$ $h^{\mathrm {eff} }$

Így két egyenletet kapunk, amelyek megadják az m közötti összefüggést , ami lehetővé teszi, hogy m -t a hőmérséklet függvényében határozzuk meg. Ennek következménye a következő: $m$ $h^{\mathrm {eff} }$

egy bizonyos érték feletti hőmérséklet esetén az egyetlen megoldás . A rendszer paramágneses . $T_{c}$ $m=0$
mert van két nem nulla megoldás: . A rendszer egy ferromágnes . ${\displaystyle T<T_{c))$ ${\displaystyle m=\pm m_{0))$

$T_{c}$ összefüggésből található: . Ez azt mutatja, hogy az átlagos térelmélet leírhatja a fázisátmenetet a ferromágneses állapotba. ${\displaystyle T_{c}={\frac {Jz}{k_{B))))$

Alkalmazás más rendszerekre

Hasonlóképpen, az átlagos térelmélet más hamiltoniánusokra is alkalmazható:

A fázisátmeneti fém-szupravezető tanulmányozásakor. Ebben az esetben a mágnesezés analógja a szupravezető rés . $\Delta$
A folyadékkristály - molekuláris mező esetében, amely akkor fordul elő, ha a rendezőmező laplaci értéke nem nulla.
Meghatározni az aminosav oldalláncok optimális pakolását egy adott tercier szerkezethez a fehérjék szerkezetének előrejelzése során.

Általánosítás időfüggő középmezőkre

Az átlagos térelméletben egyetlen csomópontra skalárként vagy vektorként jelenik meg, de nem függ az időtől. Ez azonban nem szükséges: az elmélet változatában, amelyet dinamikus középmező elméletnek neveznek, az átlagos mező az időtől függ. Például a dinamikus elmélet alkalmazható a Hubbard-modellre a fém- szigetelő Mott-átmenet tanulmányozásával .

Jegyzetek

↑ Kadanoff, LP A More is the Same; Fázisátmenetek és középmezőelméletek // Journal of Statistical Physics : folyóirat. - 2009. - 1. évf. 137. sz . 5-6 . - P. 777-797 . - doi : 10.1007/s10955-009-9814-1 . - Iránykód . - arXiv : 0906.0653 .
↑ Weiss, Pierre . L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique (francia) // J. Phys. Theor. Appl. :magazin. - 1907. - 1. évf. 6 , n o 1 . - P. 661-690 .
↑ Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. A generikus átlagos mezőkonvergencia eredménye kölcsönható objektumok rendszereire // Negyedik nemzetközi konferencia a rendszerek kvantitatív értékeléséről (QEST 2007 ) . - 2007. - P. 3. - ISBN 0-7695-2883-X . - doi : 10.1109/QEST.2007.8 .
↑ Baccelli, F.; Karpelevich, F. I.; Kelbert, M.Y.; Puhalskii, A. A.; Rybko, A. N.; Suhov, YM Átlagos mezőkorlát a sorba állító hálózatok osztályához // Journal of Statistical Physics : folyóirat. - 1992. - 1. évf. 66 , sz. 3-4 . — 803. o . - doi : 10.1007/BF01055703 . - Iránykód .
↑ Lasry, JM; Lions, PLMean field games (neopr.) // Japanese Journal of Mathematics. - 2007. - T. 2 . - S. 229 . - doi : 10.1007/s11537-007-0657-8 .
↑ Chaikin, PM; Lubensky, TC A kondenzált anyag fizikának alapelvei (neopr.) . — 4. nyomat. - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-79450-3 .
↑ H.E. Stanley. Mágneses fázisátalakulások középtérelmélete // Bevezetés a fázisátalakulásokba és a kritikus jelenségekbe (angol) . - Oxford University Press , 1971. - ISBN 0-19-505316-8 .