Végtelen süllyedés módszere

A végtelen leszármazási módszer egy ellentmondásos bizonyítási módszer , amely azon alapul, hogy a természetes számok halmaza teljesen rendezett . Jelentősen Pierre Fermat fejlesztette ki .

Gyakran használják annak bizonyítására, hogy egy egyenletnek nincs megoldása a következő séma szerint: abból a feltételezésből, hogy létezik megoldás, bebizonyosodik egy másik megoldás létezése, amely bizonyos értelemben kisebb, akkor fel lehet építeni egy végtelen megoldási láncot, mindegyik amelyből kisebb, mint az előző, ez ellentmondást okoz azzal, hogy a természetes számok bármely nem üres részhalmazában van egy minimális elem, akkor hamis a kezdeti megoldás létezésének feltételezése.

Példa

Az irracionalitás bizonyításához a végtelen leszármazási módszerrel, feltételezzük, hogy ez egy racionális szám : ${\sqrt {2}}$

{\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}

egyes természetes számokra és . Ekkor ennek a számnak a négyzete : $p$ $q$

2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}

vagyis . Ez azt jelenti, hogy páros szám . For : , ha helyettesíti a : . Mindkét részt 2-vel osztva: , ami azt jelenti, hogy ez is páros szám. Így az eredeti és számok egyidejűleg oszthatók 2-vel, és más reprezentációt kapnak . A kapott számokkal ugyanazt a műveletet elvégezheti, és így tovább végtelen számú alkalommal. Így létrejön egy végtelenül csökkenő természetes számsorozat, ami lehetetlen. Azaz nem racionális szám . $2q^{2}=p^{2}$ $p$ $p=2r$ $p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}$ $4r^{2}$ $p^{2}$ $2q^{2}=4r^{2}$ $q^{2}=2r^{2}$ $q$ $p$ $q$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

Linkek

L. Kurlyandchik, G. Rosenblum. Végtelen süllyedés módszere // Kvant . - 1978. - 1. sz . - S. 24-27 .