Logaritmikus oszcilláció csökkenése

Az oszcillációk logaritmikus csökkenése ( csillapítási csökkentés ; latin decrementumból - „csökkenés, csökkenés”) egy dimenzió nélküli fizikai mennyiség , amely az oszcillációs folyamat amplitúdójának csökkenését írja le, és egyenlő a két egymást követő amplitúdó arányának természetes logaritmusával . az x oszcilláló érték ugyanabba az irányba:

\lambda =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}.

Az oszcillációk logaritmikus csökkenése egyenlő a β csillapítási tényezővel , megszorozva a T rezgésperiódussal :

\lambda =\beta T.

Ezt a paramétert általában lineáris oszcillációs rendszerekre használják, mivel a nemlineáris rendszerekben az oszcillációs periódus általában az amplitúdótól függ, és az amplitúdócsökkenés törvénye eltér az exponenciálistól. Lineáris rendszerekben az ingadozó mennyiség idővel változik, as

x(t)=Ae^{-\beta t}\cos \omega t,

ahol A = x (0) a kezdeti amplitúdó, t az idő, ω = 2π/ T a ciklikus oszcillációs frekvencia.

Ha X n = x ( nT ) jelöli , innen azt kapjuk , hogy X k és X k +1 aránya egyenlő

X_{k}/X_{k+1}={\frac {e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}}\cdot {\frac { \cos(2\pi k)}{\cos(2\pi (k+1))))=e^{\beta T}.

A logaritmikus csökkenés egyenlő ennek a kitevőnek a kitevőjével:

\lambda =\ln(X_{k}/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.

Ha az oszcillációs rendszer energiája arányos x -szel , akkor minőségi tényezője (relatív energiaveszteség a fázisemelkedés során 1 radiánnal) egyenlő

Q={\frac {2\pi }{1-e^{-\lambda }}},

a logaritmikus csökkenést pedig az as minőségi tényezővel fejezzük ki

\lambda =-\ln \left(1-{\frac {2\pi }{Q}}\right).

A magas minőségi tényezővel rendelkező (azaz gyenge csillapítású) rendszerek esetében ezért a Maclaurin-sor λ - ban történő kiterjesztésével az első két tagra szorítkozhatunk, és ezekben a képletekben helyettesíthetjük azokat, amelyek $\lambda \ll 1,$ $e^{-\lambda }$ $e^{-\lambda }$ $1-\lambda ,$

Q\approx {\frac {2\pi }{\lambda )),\qquad \lambda \approx {\frac {2\pi }{Q)).

Linkek

Csökkentő csillapítás // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effektus - Hosszú sorok. - S. 578. - 707 p. — 100.000 példány.