Lemma Zolotarev

A számelméletben a Zolotarev-lemma azt állítja, hogy a Legendre szimbólum

\left({\frac {a}{p}}\right)

egész számra egy modulo egy páratlan p prímszám , amely nem osztja a -t, permutációs előjelként számítható ki:

\left({\frac {a}{p}}\right)=\varepszilon (\pi _{a})

ahol ε a permutáció előjelét jelöli , π pedig a nem nulla maradékok mod p permutációját , amelyet a -val való szorzással kapunk .

Bizonyíték Gauss lemmájából

A Zolotarev-lemma könnyen levezethető a Gauss-lemmából és fordítva. Például,

\left({\frac {3}{11}}\right)

a Legendre szimbólum (a / p) , ha a = 3 és p = 11. Kezdjük az {1,2, ..., p-1} halmazzal, mint két sor mátrixával, így a kettő összege bármely oszlop elemei egyenlő zéró modulo r -al , például:

egy	2	3	négy	5
tíz	9	nyolc	7	6

Alkalmazzuk a permutációt (mod p): $U:x\maps to ax$

3	6	9	egy	négy
nyolc	5	2	tíz	7

Az oszlopoknak megvan az a tulajdonságuk is, hogy egy oszlop két elemének összege nulla modulo p. Most alkalmazza a V helyettesítést , amely felcserél bármely két olyan párt, amelyben a felső tag eredetileg az alsó tag volt:

3	5	2	egy	négy
nyolc	6	9	tíz	7

Végül alkalmazzuk a W permutációt, amely visszaadja az eredeti mátrixot:

egy	2	3	négy	5
tíz	9	nyolc	7	6

Így W −1 = VU. A Zolotarev-lemma kimondja, hogy (a / p) = 1 akkor és csak akkor, ha az U permutáció páros. A Gauss-lemma kimondja, hogy (a / p) = 1 akkor és csak akkor, ha V páros. De W páros, tehát mindkét lemma ekvivalens adott (de tetszőleges) a és p esetén .

Általános eset

Általában legyen bármilyen véges páros sorrendű csoport . Legyen a rend eleme . Egyrészt, ha , akkor nem négyzet akkor és csak akkor, ha páratlan , hanem páros. Másrészt legyen az elem által generált permutáció . Nyilvánvaló, hogy az azonos hosszúságú ciklusok szorzatára bontható . Permutációs paritás . Ez azt jelenti , hogy akkor és csak akkor páratlan permutáció, ha páratlan számú , páros hosszúságú ciklusra bomlik le . Így akkor és csak akkor is, ha négyzet. $G$ $n$ $a\in G$ $d$ $n=2^{r}q,2\nmid q$ $a$ $G$ $2^{r}\mid d$ ${\frac {n}{d))$ $d$ $\pi _{a}:g\mapsto ag$ $a$ $\pi _{a}$ ${\frac {|G|}{d))$ $d$ ${\displaystyle \varepsilon (\pi _{a})=(-1)^({\frac {|G|}{d}}(d-1)))$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}$ ${\frac {|G|}{d))$ $d$ $\pi _{a}$ $a$

A Legendre szimbólumra vonatkozó állítást úgy kapjuk meg, hogy a nullától eltérő maradékok csoportját vesszük modulo . Ennek a csoportnak a sorrendje , tehát még a . $G$ ${\mathbb {Z}}_{p}^{{\times }}$ $p$ $p-1$ $p>2$

Történelem

Ezt a lemmát használta Egor Ivanovics Zolotarev 1872 - ben a másodfokú kölcsönösség új bizonyítékában .

Jegyzetek

Zolotareff G. Nouvelle bemutató de la loi de réciprocité de Legendre (francia) // Nouvelles Annales de Mathématiques :magazin. - 1872. - Kt. 11 . - P. 354-362 .

Linkek

Egy cikk a PlanetMath erőforrásról Zolotarev lemmájáról; tartalmazza a másodfokú kölcsönösség bizonyítását.