Hansel Lemma

A Hansel-lemma a moduláris aritmetika eredménye , amely kimondja, hogy ha egy algebrai egyenletnek egyszerű gyöke modulo a prímszáma van , akkor ez a gyök egyértelműen megfelel ugyanazon egyenlet gyökének, modulo , amely a hatványok iteratív emelésével kereshető meg . Kurt Hanselről nevezték el . Általánosabban, a Hensel-lemmát a Newton-módszer analógjainak igazolására is használják teljes kommutatív gyűrűkben (különösen p-adikus számokban ). $p$ $p^{k}$ $p$

Megfogalmazás

A Hansel-lemmának sok egyenértékű megfogalmazása létezik.

Általános megfogalmazás

Legyen egy teljes mező a diszkrét értékeléshez képest , és legyen a teljes mezők (vagyis a nem negatív értékelésű elemek) gyűrűje. Legyen valamilyen olyan elem , hogy , jelölje a hozzá tartozó maradékmezőt . Legyen néhány polinom együtthatókkal -ból . Ha a redukált polinomnak egyszerű gyöke van (vagyis létezik olyan, hogy és ), akkor van olyan egyedi , hogy és [1] . $K$ $v$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $\pi \in K$ $K$ $v(\pi )=1$ $k={\mathcal {O}}_{K}/\pi$ $f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\overline {f))(X)\in k[X]$ $k_{0}\in k$ ${\overline {f}}(k_{0})=0$ ${\overline {f'}}(k_{0})\neq 0$ $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ $f(a)=0$ ${\overline {a}}=k_{0}$

Alternatív megfogalmazás

Kevésbé általános formában a lemma a következőképpen fogalmazódik meg: legyen egy polinom egész (vagy p-adikus egész) együtthatókkal. Legyen továbbá , és egész számok legyenek olyanok, hogy . Ha egy egész szám, akkor ilyen $f(x)$ $m$ $k$ $0<m\leq k$ $r$

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{u}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},

akkor van olyan egész szám , hogy $s$

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{u}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Ezenkívül a szám egyedileg definiált modulo , és kifejezett módon fejezhető ki $s$ $p^{k+m}$

s=rf(r)\cdot a,

hol van olyan egész szám $a$

a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m))}.

Megjegyzendő, hogy miatt a feltétel is teljesül . ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k))))$ ${\displaystyle s\equiv r{\pmod {p^{k))))$

Példa

Tekintsük azt az egyenletet , amely az automorf hosszszámokat decimális jelöléssel határozza meg. Ez két modulo prímhatvány egyenletrendszerének tekinthető : ${\displaystyle x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k))))$ $k$

{\begin{cases}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}} \end{cases}}

Ha az egyenlet megoldásai , , vagy -ra végződő számok . Ahhoz, hogy megoldásokat kapjunk nagyra , használhatjuk Hansel lemmáját, feltételezve, hogy . $k=1$ $0$ $egy$ $5$ $6$ $k$ $f(x)=x^{2}-x$

A fenti képletek szerint az átmenet a for - ról a következőre fog kinézni: $p^{k}$ $p^{k+m}$ $m\leq k$

{\textstyle s=r-(r^{2}-r)\cdot (2r-1)^{-1}={\frac {r^{2}}{2r-1}}{\pmod {p ^{k+m}}}.}

Lásd még

Minkowski-Hasse tétel

Jegyzetek

↑ Serge Lang, Algebrai számelmélet , Addison-Wesley Publishing Company, 1970, p. 43

Irodalom

Eisenbud, David (1995), Commutative algebra , vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8
Milne, J. G. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7