Vitali Lemmája a borítókon

Vitali fedőlemmája kombinatorikus geometriai eredmény . Széles körben használják a mértékelméletben .

Ezt a lemmát a Vitali-féle fedőtétel bizonyítása során használják , de önmagában is érdekes. Giuseppe Vitali olasz matematikusról kapta a nevét .

Megfogalmazás

Végső verzió

Legyen egy véges golyóhalmaz , amely egy d - dimenziós R d euklideszi térben (vagy általánosabban tetszőleges metrikus térben ) található. Ekkor létezik ezeknek a golyóknak egy részhalmaza, amelyben a golyók páronként diszjunktok, és ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n))$ $B_{j_{1)),B_{j_{2)),\dots ,B_{j_{m))$

B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_ {m}},

ahol egy olyan golyót jelöl, amelynek középpontja megegyezik y -val, de sugara háromszorosa. $3B_{j_{k))$ $B_{j_{k))$

Végtelen verzió

Legyen tetszőleges (megszámlálható vagy megszámlálhatatlan) golyók halmaza R d -ben (vagy általánosabban egy metrikus térben), így ${\displaystyle \{B_{j}\mid j\in J\))$

\sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty ,

ahol a B j golyó sugarát jelöli . Ekkor bármelyikhez létezik egy megszámlálható részhalmaz $\mathrm {rad} (B_{j})$ $k>3$

\{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subset J,

páronként diszjunkt golyókat úgy, hogy

\bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.

Jegyzetek

A végtelen változatban a lemma megszűnik igaznak lenni, ha a sugarak nincsenek korlátosak: például ez nem igaz pozitív egész sugarú koncentrikus golyók végtelen halmazára.
A legáltalánosabb esetben egy tetszőleges metrikus tér esetén a golyók maximális diszjunkt részgyűjteményének kiválasztásához szükség van a Zorn- lemmára .

Következmények

A gömbök bármely véges halmazában a dimenziós euklideszi térben egyesülési térfogattal kiválasztható az egymást metsző golyók egy részhalmaza, amelynek össztérfogata legalább . $n$ $V$ ${\tfrac {1}{3^{n}}}\cdot V$
- Az együttható nem optimális, és az optimális érték nem ismert. [egy] ${\displaystyle {\tfrac {1}{3^{n))))$

Változatok és általánosítások

A labdák helyett más régiókat is be lehet venni, ahol meglehetősen gyenge a helyzet. [2]
Besikovich lemmája Vitali lemmájának analógja. Alkalmazható tetszőleges mértékekre, de csak egyszerű metrikus terekre, beleértve az euklideszi teret, míg a Vitali-féle lemma tetszőleges metrikus terekre alkalmazható a duplázó tulajdonságú mértékekre. Ez utóbbi azt jelenti, hogy néhány valós állandó és egy tetszőleges labda van $\mu$ $C$ $B$ $\mu (2B)\leq C\cdot \mu (B)$

Jegyzetek

↑ Az optimális állandó a Vitali fedőlemmában
↑ Federer G. Geometriai mértékelmélet. - 1987. - 760 p.

Irodalom

Vitali, Giuseppe (1908), Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino T. 43: 75–92 , < http://www.archive.org/stream/attidellarealeac43real#page /228/mode/2up > .
I. P. Natanson . Valós változó függvényelmélete.