A Nyquist-Mihajlov stabilitási kritérium

A Nyquist -Mikhailov stabilitási kritérium az egyik módja annak, hogy egy zárt vezérlőrendszer stabilitását a nyitott állapot amplitúdó-fázis frekvenciaválasza alapján ítéljük meg. Ez az egyik frekvenciastabilitási kritérium. Ezzel a kritériummal nagyon könnyen értékelhető a stabilitás, anélkül, hogy ki kellene számítani a zárt hurkú átviteli függvény pólusait .

Stabilitási feltétel

Egy dinamikus rendszer átviteli függvénye törtként ábrázolható $\ T(s)$

\ T(s)={\frac {N(s)}{D(s)))

A stabilitás akkor érhető el, ha minden pólusa a bal félsíkban van . Nem szabad a jobb félsíkban lenniük. Ha egy nyílt hurkú átviteli függvény negatív visszacsatolásával kapjuk , akkor a zárt hurkú átviteli függvény pólusai a függvény nullái . A kifejezést a rendszer karakterisztikus egyenletének nevezzük . $\ T(s)$ $\s$ $\ T(s)$ $\ F(s)={\frac {A(s)}{B(s)))$ ${\megjelenítési stílus \ 1+F(ek)}$ $\ 1+F(s)=0$

Cauchy érvelési elve

Az összetett változó függvényelméletéből ismert, hogy a -síkon bizonyos számú nem analitikus pontokat körülvevő kontúr a függvény segítségével leképezhető egy másik komplex síkra (a síkra ) úgy, hogy az így kapott kontúr lefedi a -sík idők középpontját, és , ahol a nullák száma, és a függvény pólusainak száma . A körvonal irányával egybeeső irány pozitívnak , az ellenkező irány negatívnak számít. $\Gamma _{s}\$ $\s$ $\F(ek)$ $\F(ek)$ $\Gamma _{F(s)}\$ $\ F(S)$ $\n$ $\n=zp$ $\z$ $\p$ $\F(ek)$ $\Gamma _{s}\$

A kritérium megfogalmazása

Először megszerkesztjük a komplex sík jobb oldali félsíkját behálózó kontúrt. A kontúr a következő szakaszokból áll:

szakasz a tengely mentén felfelé haladva tól ig . $\ j\omega \$ $0-j\infty$ $0+j\infty$
egy pontból induló és az óramutató járásával megegyező irányban egy pontban végződő sugarú félkör . $r\to\infty$ $0+j\infty$ $0-j\infty$

Ezután ezt a kontúrt egy nyílt rendszer átviteli függvényével jelenítjük meg, aminek eredményeként megkapjuk a rendszer AFC síkját . Az érvelési elv szerint az origó körüli óramutató járásával megegyező irányú elforgatások számának egyenlőnek kell lennie a függvény nulláinak számával mínusz a jobb oldali félsíkban lévő pólusok száma . Ha az origó helyett egy pontot veszünk figyelembe , akkor a függvény jobb oldali félsíkjában a nullák és a pólusok száma közötti különbséget kapjuk . Figyelembe véve, hogy a függvénynek ugyanazok a pólusai vannak, mint a függvénynek , és a nyitott rendszer pólusai a zárt rendszer nullái, megfogalmazzuk a Nyquist-Mikhailov kritériumot : $\F(ek)$ $\F(ek)$ $\F(ek)$ $\ -1+j0$ ${\megjelenítési stílus \ 1+F(ek)}$ ${\megjelenítési stílus \ 1+F(ek)}$ $\F(ek)$

Legyen egy zárt hurok a komplex síkban, legyen a hurok által lefedett pólusok száma , és legyen a által lefedett nullák száma , vagyis a pólusok száma . Az eredményül kapott kontúrnak a -síkban a zárt rendszer stabilitásának biztosítása érdekében le kell fednie (az óramutató járásával megegyezően) azokat a pontidőket , ahol . $\Gamma _{s}\$ $\p$ $\F(ek)$ $\Gamma _{s}\$ $\z$ $\F(ek)$ $\Gamma _{s}\$ $\ T(s)$ $\Gamma _{s}\$ $\F(ek)$ $\Gamma _{F(s)}\$ $\ -1+j0$ $\n$ $\n=zp$

Az orosz nyelvű, főként a Szovjetunióban megjelent irodalomban a kritérium más megfogalmazása létezik, amelyet ebben az esetben Mihajlov -kritériumnak neveznek (a stabilitási kritériumot A. V. Mihajlov szovjet tudós javasolta 1936-ban [1] ):

A rendrendszer akkor stabil, ha frekvenciahodográfja a komplex sík pozitív valós féltengelyéről indulva egymás után áthalad a koordinátanegyedeken anélkül, hogy bárhol 0-ra fordulna. $\n$ $\n$

A Nyquist-Mikhailov kritérium következményei:

Ha egy átviteli funkcióval rendelkező nyílt hurkú rendszer stabil, akkor a zárt hurkú rendszer akkor stabil, ha a nyílt hurkú fázisválasz nem fedi le a (−1; j0) pontot. $\F(ek)$
Ha a nyitott rendszer instabil, akkor a −1 pont körüli fordulatok számának meg kell egyeznie a jobb oldali félsíkban lévő pólusok számával. $\F(ek)$ $\F(ek)$
A −1 pont körüli további (nagyobb, mint ) fesztávok száma pontosan megegyezik a zárt rendszer instabil pólusainak számával. $\n+p$

Lásd még

Routh-stabilitási kritérium
Hurwitz stabilitási kritérium
Stabilitási kritérium az állapottérben
LAFCHH

Jegyzetek

↑ 5.3. Mihajlov stabilitási kritériuma . scask.ru . Letöltve: 2022. augusztus 7. (határozatlan)

Irodalom

Mikhailov A. V. A zárt vezérelt rendszerek tanulmányozásának új megközelítéséről // Automatizálás és telemechanika. - 1973. - 8. sz .
Nyquist , H. 1932. Regenerációs elmélet. Bell System Technical Journal, 11., pp. 126-147.
Chernetsky VI . Dinamikus rendszerek matematikai modellezése. - Petrozavodsk: Petrozavodszk állam. un-t, 1996. - 432 p. — ISBN 5-230-08981-4 .