Komplex amplitúdó

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2015. szeptember 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A komplex amplitúdó (phasor) egy komplex érték , amelynek modulusa és argumentuma megegyezik a harmonikus jel amplitúdójával és kezdeti fázisával .

Definíció

Legyen harmonikus jel:

$a(t)=A\cos \left(\omega t+\phi \jobb)$

Algebrailag kényelmetlen az ilyen formában írt jeleken ilyen aritmetikai műveleteket végrehajtani, például két jelet összeadni, egy jelből egy másik jelet kivonni. E műveletek megkönnyítésére a harmonikus jeleket komplex számként ábrázoljuk, amelynek modulusa megegyezik a jel amplitúdójával, az argumentum pedig a jel fázisa. Ebben az esetben az eredeti a(t) jel egyenlő az adott b(t) komplex szám valós részével:

$a(t) = \Re(b(t))$ ,

ahol $b(t) = A e^{i( \omega t + \phi )} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A e^{i \omega t}$

itt a harmonikus jel komplex amplitúdója a következő kifejezés:

${\hat A}=Ae^{{i\phi ))$

Fizikai jelentés

Algebrai forma

Ha a komplex amplitúdót egy komplex számnak tekintjük algebrai formában, akkor a valós rész a koszinusz (fázisban lévő) komponens amplitúdójának, a képzeletbeli rész pedig az eredeti szinusz (kvadratúra) komponensének amplitúdójának felel meg. jel. Tehát az (1) jelhez a következőt kapjuk: $a(t)=\Re ({\hat A})\cos(\omega t)-\Im ({\hat A})\sin(\omega t)$

ahol $\Re ({\hat A})=A\cos(\phi ),\quad \Im ({\hat A})=A\sin(\phi )$

Trigonometrikus forma

Ha a komplex amplitúdót trigonometrikus formájú komplex számnak tekintjük, akkor a modulus az eredeti harmonikus jel amplitúdójának, az argumentum pedig az eredeti harmonikus jel jelhez viszonyított fáziseltolódásának felel meg . $\cos {(\omega t)}$

Műveletek komplex amplitúdóval

Lineáris műveletek alkalmazhatók komplex amplitúdójú térben lévő jelekre. Más szavakkal, a következő műveletek összetett amplitúdókon:

a komplex amplitúdó szorzata egy állandóval
összetett amplitúdók összeadása (ugyanolyan frekvenciának megfelelő)
komplex amplitúdók kivonása (azonos frekvenciának megfelelő)
a komplex amplitúdó időbeli integrálása
komplex amplitúdó differenciálása az idő függvényében

ugyanarra az eredményre vezetnek, mintha a megfelelő harmonikus jeleken végeznének, majd ezekből veszik a komplex amplitúdót.

Korlátozások

Bár a komplex amplitúdó kifejezése nem tartalmazza a harmonikus jel ω frekvenciáját, emlékezni kell arra, hogy a komplex amplitúdó egy adott frekvenciájú harmonikus jelet ír le . Ezért az összetett amplitúdók terén elfogadhatatlanok azok a műveletek, amelyek:

vegyük operandusnak a különböző frekvenciájú harmonikus jeleket leíró komplex amplitúdókat .
megváltoztatni egy harmonikus jel frekvenciáját vagy új frekvenciákat generálni (minden nemlineáris művelet, például két jel szorzása ).

Alkalmazás

A komplex amplitúdó egy teljes és nagyon kényelmes módja a harmonikus jelek leírásának, mivel:

Az amplitúdót és a fázist egyaránt jellemzi
Nem tartalmaz időfüggőséget
Lehetővé teszi vektordiagramok használatát az AC áramkörök elemzéséhez

Az összetett amplitúdók és impedanciák használata lehetővé teszi a harmonikus jel lineáris áramkörön való áthaladásának problémáját (amelyet differenciálegyenlet -rendszer ír le) egy egyszerűbb problémára, amely egyenértékű az egyenáramú ellenállások áramkörének elemzésével ( amelyet egy algebrai egyenletrendszer ) .