Stone-Cech tömörítés

A Stone-Cech tömörítés (a Stone-Cech vagy Cech-Stone tömörítés is) egy teljesen szabályos topológiai tér maximális tömörítése .

Egy tér Stone-Cech tömörítését általában jelölik . $x$ $\beta X$

Történelem

A Stone-Cech tömörítési konstrukcióval először Tyihonov [1] foglalkozott 1930-ban. Kifejezettebben 1937-ben írta le Stone [2] és Eduard Cech [3] .

Általános tulajdonság

$\beta X$ egy kompakt Hausdorff tér a következő univerzális tulajdonságnak megfelelő folytonos leképezéssel együtt : bármilyen folytonos leképezés egy kompakt Hausdorff térre egyedileg kiterjeszthető folytonos leképezésre úgy , hogy a következő diagram kommutatív : $x,$ $f:X\to K$ $K$ $\beta f:\beta X\to K,$

Abban az esetben, ha az eredeti tér teljesen szabályos volt, a leképezés egy homeomorfizmus ennek a leképezésnek a képére (azaz egy beágyazás ). $x$ $X\to \beta X$ $x$

Megjegyzés

Bár az univerzális tulajdonság egyedileg határozza meg a tömörítést egy izomorfizmusig , a tömörítés létezésének bizonyításához explicit konstrukciót kell leírni.

Építkezés

Jelölje az összes folytonos függvény halmazával . Igazolható, hogy az egyenlőség által meghatározott leképezés ( Tihonov-kocka ). $A$ $\alpha \colon X\ to [0,1]$ $F:X\ to [0,1]^{A}$

{\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A))

egy homeomorfizmus a képére . A lezárás és lesz a kívánt tömörítés. $x$ $F(X)\subset [0,1]^{A}$ $F(X)$ $[0,1]^{A}$

Tulajdonságok

Ha egy diszkrét tér , annak tömörítése a Stone topológiával felruházott részhalmazok rácsán lévő ultraszűrők halmaza . A Stone topológia nyílt halmazainak alapjaként az ultraszűrők halmazán , minden lehetséges készlethez vehetünk $x$ $x,$ $G$ $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ $a\in P(X).$

Jegyzetek

↑ Tychonoff, A. (1930), Über die topologische Erweiterung von Räumen, - Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 102: 544-561
↑ Stone, MH (1937), A Boole-gyűrűk elméletének alkalmazásai általános topológiára, - Trans. amer. szoc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3) 41 (3): 375-481
↑ Čech, E. (1937), A bikompakt terekről, - Ann. Math. (The Annals of Mathematics, 38. kötet, 4. sz.) 38 (4): 823-844

Irodalom

Stone-Cech bikompakt kiterjesztés – Encyclopedia of Mathematics cikk . Kozhevnikova I. G.
Dror Bar-Natan , Ultraszűrők, tömörség és a Stone-Čech tömörítés