Félklasszikus közelítés

A félklasszikus közelítés , más néven WKB ( Wentzel - Kramers - Brillouin ) módszer, a leghíresebb példa a félklasszikus számításokra a kvantummechanikában , amelyben a hullámfüggvény exponenciális függvényként van ábrázolva, félklasszikusan kiterjesztve, majd vagy a amplitúdó vagy a fázis lassan változik. Ez a módszer G. Wentzel , H.A. fizikusokról kapta a nevét . Kramers és L. Brillouin , akik 1926 -ban egymástól függetlenül dolgozták ki ezt a módszert. 1923- ban Harold Jeffery matematikus kidolgozott egy általános módszert a másodrendű lineáris differenciálegyenletek közelítő megoldására, amely magában foglalja a Schrödinger-egyenlet megoldását is . De mivel a Schrödinger-egyenlet két évvel később megjelent, Wentzel, Kramers és Brillouin nyilvánvalóan nem ismerte ezt a korábbi munkát.

Bizonyos értelemben történetileg a félklasszikus közelítés megelőzte a WKB-módszert és általában a hullámfüggvény fogalmát: az ún. A „ régi kvantumelmélet ” ugyanezt a korlátozó esetet empirikusan vizsgálta 1900-1925 között.

Következtetés

Az egydimenziós stacionárius Schrödinger-egyenletből kiindulva:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)= E/Psi(x)

ami átírható mint

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\jobb )\Psi(x)

a hullámfüggvényt egy másik ismeretlen Φ függvény exponenciális függvényeként ábrázoljuk

\Psi (x)=e^{{\Phi (x)))

Φ teljesítenie kell az egyenletet

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\jobb]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\ jobb)

ahol a származékát jelenti x tekintetében . Valós és képzeletbeli részekre osztjuk az A és B valós függvények bevezetésével : $\Phi '$ $\Phi$ $\Phi '(x)$

\Phi '(x)=A(x)+iB(x)

Ekkor a hullámfüggvény amplitúdója , a fázis pedig . A Schrödinger-egyenletből két egyenlet következik, amelyeket ezeknek a függvényeknek teljesíteniük kell: ${\displaystyle e^{\int ^{x}A(x')dx'))$ ${\displaystyle {\int ^{x}B(x')dx'))$

A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\bal(V(x)-E\jobb )\;

B'(x)+2A(x)B(x)=0,\;

A szemiklasszikus közelítést szeretnénk figyelembe venni ezen egyenletek megoldásához. Ez azt jelenti, hogy minden függvényt hatványsorként fogunk bővíteni . Az egyenletekből láthatjuk, hogy a hatványsornak a taggal kell kezdődnie ahhoz, hogy az egyenlet valós részét kielégítse. De mivel szükségünk van egy jó klasszikus határértékre, a bővítést is a Planck -állandó minél nagyobb hatványával szeretnénk kezdeni. $\hbar$ $\hbar ^{{-1}}$

A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)

B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{{i=0}}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)

Az egyenletek az elsõ bõvítési sorrendig a formába írhatók

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\bal(V(x)-E\jobb)

A_{0}(x)B_{0}(x)=0

Ha az amplitúdó gyengébben változik, mint a fázis, akkor tehetünk és kaphatunk $A_{0}(x)=0$

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}

Ez csak akkor igaz, ha a teljes energia nagyobb, mint a potenciális energia. Hasonló számítások után a következő kicsinységi sorrendre kapjuk

\Psi (x)\approx C{\frac {e^{{i\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\right)} }+\theta ))}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(EV(x)\jobbra)))))

Másrészt, ha a fázis lassan változik az amplitúdóhoz képest, akkor beállítjuk és megkapjuk $B_{0}(x)=0$

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\jobb)))

Ez akkor igaz, ha a potenciális energia nagyobb, mint a teljes. A következő kicsinységi sorrendhez azt kapjuk

\Psi (x)\approx {\frac {C_{{+}}e^{{+\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x) )-E\jobbra))))+C_{{-}}e^{{-\int dx{\sqrt ({\frac {2m}{\hbar ^{2))}\left(V(x) )-E\jobb)}}}}}{{\sqrt[ {4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\jobb))) ) }}

Nyilvánvaló, hogy a nevező miatt mindkét közelítő megoldás eltér a klasszikus fordulópont közelében, ahol u nem lehet helyes. Megközelítő megoldásaink vannak a potenciálgáttól távol és a potenciális domb alatt. A potenciálgáttól távol a részecskék szabad hullámként viselkednek - a fázis oszcillál. A potenciálgát alatt a részecske exponenciális amplitúdóváltozáson megy keresztül. $E=V(x)$

A probléma teljes megoldásához mindenhol közelítő megoldásokat kell találnunk, és az együtthatókat egyenlővé kell tenni egy globális közelítő megoldáshoz. A megoldást továbbra is a klasszikus fordulópontok körül kell megközelítenünk.

Jelöljük a klasszikus fordulópontot . Közel , sorban bővíthető . $x_{1}$ $E=V(x_{1})$ ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\jobb)$

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{ 1})^{2}+\cdots

Első rendelésre kapunk

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)

Megoldása a fordulópontok közelében a következő:

\Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{{+{\frac {1}{3}}}}J_{{+{\frac {1}{3} ))}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\ jobb)+C_{{-{\frac {1}{3)))J_{{-{\frac {1}{3))))\left({\frac {2}{3)){\ sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{{{\frac {1}{3}}}}\jobbra)\jobbra)

A megoldás aszimptotikáját felhasználva megtalálhatjuk az összefüggést és között : $C,\théta$ $C_{{+}},C_{{-}}$

C_{{+}}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

C_{{-}}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}

Ez befejezi a globális megoldás felépítését.

Irodalom

Pokrovsky VL Kváziklasszikus közelítés. Archivált : 2011. június 16. a Wayback Machine -nél // Physical Encyclopedia. - T. 2. - M .: SE, 1990. - S. 252-255.
WKB módszer. Archivált : 2012. március 15. a Wayback Machine -nél // Physical Encyclopedia. - T. 1. - M .: SE, 1988. - S. 285.
Freman H., Freman P. W. WKB-közelítés. - M . : Mir, 1967. - 166 p.
Maslov VP, Fedoryuk MV Szemiklasszikus közelítés a kvantummechanika egyenleteire. — M .: Nauka, 1976. — 296 p.