Négyzetes négyzet

Egy négyzet négyzetre emelése egy négyzet véges számú kisebb négyzetre  való felosztásának problémája . Szűkebb értelemben ez egy négyzet véges számú páronkénti egyenlőtlen négyzetre való felosztásának problémája.

1936-1938 - ban a Cambridge-i Egyetem Trinity College négy hallgatója oldotta meg [ 1] .

A feladat bármely megoldásában minden négyzetnek hasonló hosszúságú oldala van. [2]

Terminológia

• A páronként egyenlőtlen négyzetekre osztott négyzetet tökéletesnek [1] nevezzük .
• Egy összetett négyzetekre osztott négyzet sorrendje az alkotó négyzetek száma.
• Egy négyzet olyan partícióját, amelynek négyzeteinek egyik részhalmaza sem alkot téglalapot (az egyes négyzeteket nem számítva), egyszerűnek nevezzük .

Történelem

• A négyzet egyenlőtlen négyzetekre való felosztásának lehetőségét Stanislav Ruzevich 1935-ben 59. szám alatt írta le a Skót Könyvben [3] .
• A Brooks, Smith, Stone és Tutt által talált legelső tökéletes négyzetek a 69-es sorrendűek voltak.
• 1939 -ben R. Sprague talált egy tökéletes 55-ös rendű négyzetet, ez volt az első publikált megoldás a tökéletes négyzetre [4] .
• Később T. H. Willcocks talált egy tökéletes 24-es rendű négyzetet, amely sokáig tartotta a rendelési kicsinységi rekordot.
• 1978- ban A. J. W. Duijvestijn ( A. J. W. Duijvestijn ) holland matematikus egy számítógép segítségével egy négyzet 21 négyzetre való felosztását találta, amelyek között nincs egyenlő (lásd az ábrát). A következő állításokat is bebizonyította:
  • Nincs tökéletes, kisebb rendű négyzet.
  • Az általa talált partíció az egyetlen lehetséges 21. rendű partícióhoz.

Smith diagram

A négyzetesítési probléma megoldásában kulcsszerepet játszott az a javaslat, amelyet Brooks, Smith, Stone és Tat tettek 1936-1938-ban [ 1] a Smith diagramnak nevezett diagram elemzésére , amely egy elektromos áramkört rendel a fal bármely partíciójához. négyzet (vagy téglalap) . Ez lehetővé tette az elektromos áramkörök jól kidolgozott elméletének alkalmazását a négyzetesítés problémájának megoldására.

Tekinthetjük, hogy a téglalap állandó ellenállású fóliából készült vezető. Ha az alapok mentén áramot kötünk, akkor a téglalap ellenállása egyenesen arányos a téglalap magasságával és fordítottan arányos a téglalap szélességével. Ezért feltételezhetjük, hogy bármely négyzet ellenállása egység.

A négyzet felosztásának sémájában minden vízszintes szegmens ennek az áramkörnek egy "termináljának" felel meg, és a particionálás minden négyzete egy két "kivezetést" összekötő vezetőnek felel meg. A vezetőn átfolyó áram erőssége megegyezik a megfelelő négyzet oldalának hosszával. Mivel feltételezhetjük, hogy minden négyzet ellenállása eggyel egyenlő, egy ilyen elektromos áramkör „igazi” áramkörként viselkedik; különösen betartja Kirchhoff áramköri áramokra vonatkozó szabályait.

Négyzetek száma

	A sorrend prím tökéletes négyzeteinek száma		A sorrend prím tökéletes négyzeteinek száma
21	egy	28	3001
22	nyolc	29	7901
23	12	harminc	20 566
24	26	31	54 541
25	160	32	144 161
26	441	33	378 197 [5]
27	1152

Az n rendű egyszerű tökéletes négyzetek számát [ szimmetriáig az OEIS [6] A006983 sorozata adja meg .

2013-ban 32 ( 144 161 ) nagyságrendű négyzetszámot találtak [6] [5] .

2014 júniusában Jim Williams megszerezte mind a 378 197 33-as rendű tökéletes tökéletes négyzetet [5] .

Kocka kockázás

A "kocka felkockázása", vagyis egy kockának véges számú páronkénti egyenlőtlen kockára való felosztása lehetetlen. Ezt a tényt Brooks, Smith, Stone és Tutt bizonyították.

Tegyük fel, hogy a kocka kívánt partíciója létezik.

Tekintsük a kocka egyik lapját, természetesen az általánosság elvesztése nélkül választhatjuk az alsó oldalt.

Az alsó oldalon egyenetlen kockák vannak, amelyek alsó szélei egyenetlen négyzetekre osztják a lapot.

Keressük meg az alsó lap partíciójának legkisebb négyzetét. Nyilvánvaló, hogy ez a négyzet nem csatlakozhat a kocka éléhez, mivel nagyobb négyzetek oldalai korlátozzák, ezért valahol a lapon belül kell elhelyezkednie.

Most nézzük ennek a kis kockának a felső oldalát. Mivel állítólag ez a legkisebb kocka a kocka alsó oldalán, magasabb kockák veszik körül. Ezért egyetlen szomszédos kocka sem avatkozik be a felső felületén. Következésképpen az ezen a lapon álló kisebb kockák a kocka felső lapját ismét egyenetlen négyzetekre osztják, és a vizsgált kocka felső lapjának válaszfalának legkisebb négyzete ismét nem tartozhat a kocka éléhez, és a kocka belsejében található. arc.

Ezt az érvelési folyamatot folytatva egy ellentmondáshoz jutunk, ami bizonyítja az [1] tételt .

Hiperkocka hiperkubációja

Könnyű bizonyítani a „hiperkocka hiperkocka” lehetetlenségére vonatkozó tételt is 3 - nál nagyobb méretű hiperkockákra . Valójában bármely n dimenzió esetén az eredeti hiperkocka valamilyen ( n  − 1) dimenziós oldalával szomszédos particionáló hiperkockáknak ezt a felületet véges számú páronként egyenlőtlen ( n  − 1) dimenziós hiperkockára kell particionálniuk. n = 4 esetén  a „hiperkocka” lehetetlen, mivel ennek az eredeti 4 dimenziós hiperkocka 3 dimenziós hiperfelületeinek „kockázását” kell generálnia. Az n indukciójával arra a következtetésre juthatunk, hogy a „hiperkubáció” lehetetlen minden n  > 3 esetén.

Linkek

• Videó az angol nyelvű populáris tudományos matematikai YouTube-csatornán, a Numberphile 2020. augusztus 12-i archivált példány a Wayback Machine -en

Irodalom

• Gardner M. , Matematikai rejtvények és szórakoztatás . Per. angolból Yu. Danilova. Szerk. "Onyx", Moszkva, 1994, 305-326.
• Yaglom I. M. Hogyan vágjunk négyzet alakú 2021. január 27-i archív példányt a Wayback Machine Mathematical Library sorozatában, M., Nauka, 1968—112 ​​p.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Egyszerű, tökéletes négyzet alakú rendelési katalógus 21–25 , Eindhoven Univ. Technológia, Oszt. of Math., 92-WSK-03 jelentés, nov. 1992.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26 , Eindhoven University of Technology, Faculty of Matematika és Számítástechnika, EUT Report 94-WSK-02, 1994. december.
• Brooks, R.L., Smith CAB, Stone, A.H., Tutte, W.T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940
• Gardner Martin , A négyzet négyzetesítése , The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Meschkowski H. Megoldatlan és megoldhatatlan problémák a geometriában, Oliver és Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9-102.
• Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (2. kiadás) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92-124.
• Tutte W. Squaring the Square, Canadian Journal of Mathematics, 1950, 197-209.
• Tutte W. The Quest of the Perfect Square, The American Mathematical Monthly , 1965, 4. évf. 72. sz. 2, pp. 29-35.

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 3 4 Brooks, R.L.; Smith, CAB; Stone, A. H.; és Tutte, W.T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940.
2. ↑ Gardner, M. , Matematikai rejtvények és szórakozás . Per. angolból Yu. Danilova. Szerk. "Onyx", Moszkva, 1994, 305-326. . Letöltve: 2020. augusztus 12. Az eredetiből archiválva : 2021. január 17. (határozatlan)
3. ↑ A skót könyv  (meghatározatlan) / Stan Ulam. – 1958.
4. ↑ 5. A kombinatorikus játékok elmélete felé . Amerikai Matematikai Társaság . Letöltve: 2017. június 30. Az eredetiből archiválva : 2017. augusztus 29.  (határozatlan) .
5. ↑ 1 2 3 Stuart Anderson. Simple Perfect Squared Squares (SPSS-ek); Rendelés 21-től 33-ig és magasabb rendelések . Letöltve: 2015. november 30. Az eredetiből archiválva : 2015. december 8..  (határozatlan) .
6. ↑ 1 2 OEIS sorozat A006983 = Egyszerű tökéletes négyzetek száma n-es rendű szimmetriáig .

Linkek

• Ross Honsberger. Négyzet a téren . A Waterloo Egyetem Matematikai Kara. Az eredetiből archiválva : 2015. október 16. (határozatlan)
• Re: Négyzet (vagy téglalap) felosztása egyenlőtlen négyzetekre . sci.math, rec.puzzles (1998. április 11.). Az eredetiből archiválva : 2003. április 19. (határozatlan)
• Négyzet alakú a négyzet . Byron Schmuland. Letöltve: 2005. február 26. Az eredetiből archiválva : 2015. szeptember 24.. (határozatlan)
• Karl Scherer. Négyzet A téglalap (nem elérhető link) . Archiválva az eredetiből 2014. augusztus 21-én. (határozatlan) 
• Karl Scherer. Square The Square (nem elérhető link) . Az eredetiből archiválva : 2014. augusztus 19. (határozatlan) 

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)