Invariáns derivált az idő függvényében

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Az invariáns időderivált egy tehetetlenségi keret időderiváltája . Magában az inerciarendszerben az invariáns időderivált egyszerűen a szokásos időderivált: . Egy nem inerciarendszerben az invariáns időderivált a szokásos időderivált és a nem inerciális rendszer inerciálishoz viszonyított sebességére vonatkozó további tagok összegéből áll. A sebességmező lehet inhomogén , és általában az időtől függ . Így például egy nem egyenletesen forgó kerékkel társított nem inerciarendszerben a sebességmező nem egyenletes ${\frac {\partial }{\partial t))$ ${\frac {\partial }{\partial t))$ $V^i$ $V^{i}(x)$ $V^{i}(x,t)$ tér és idő. Mivel a sebességek mezője a nem anyagi objektumok koordinátarendszereinek relatív mozgási sebessége, ez a sebesség nagyságrendileg meghaladhatja a fény sebességét, sőt végtelen is lehet. Ebben az esetben természetesen nincs ellentmondás a speciális relativitáselmélettel (SRT). Például egy forgó kerékhez társított nem inerciális rendszer sebességmezeje a forgásközépponttól kellően nagy távolságban meghaladja a fény sebességét, és a középponttól való nagyobb távolsággal a végtelenbe hajlik. $V^{i}(x,t)$

Az inerciarendszerben a koordinátákkal jelöljük, a nem inerciarendszerben pedig a koordinátákkal. Ekkor a nem inerciális rendszer mozgási sebessége az inerciálishoz viszonyítva ${\bár {x}}$ $x({\bar {x)),t)$

$V^{i}(x,t)={\frac {\partial x^{i}({\bar {x)),t)}{\partial t))$

A skalár invariáns időbeli deriváltja egy nem inerciális keretben: $F(x,t)$

$D_{t}F(x,t)={\frac {\partial F}{\partial t))+{\frac {\partial F}{\partial x^{i))}{\frac {\partial x^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\partial F}{ \partial x^{i}}}$ .

A tenzorok invariáns idejű deriváltjának további kifejezései vannak az összetevőik átalakulásához, amikor egyik koordinátarendszerből a másikba lépnek . Tehát például vektorokhoz és kovektorokhoz a következőket találjuk: ${\bar {x}}\to x({\bar {x}},t)$

$A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}$ ;

$A_{i}={\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}{\bar {A}}_{j}$ .

Következésképpen,

${\displaystyle D_{t}A^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A^{i}}{ \partial x^{j))}-A^{j}{\frac {\partial V^{i)){\partial x^{j))))$ ;

$D_{t}A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x ^{j}}}+A_{j}{\frac {\partial V^{j}}{\partial x^{i}}}$ .

A magasabb rangú tenzorok invariáns időbeli deriváltjait hasonlóan számítjuk ki.

Az invariáns időderivált fontos tulajdonsága, hogy a fenti kifejezések jobb oldalán lévő térkoordinátákra vonatkozó összes derivált helyettesíthető a térmetrikával konzisztens kovariáns deriváltokkal , pl. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i))))$ ${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j))$

$D_{t}A^{i}=\partial _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j} ^{i}$ ,

${\displaystyle D_{t}A_{i}=\partial _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j))$ ,

itt a Christoffel-kapcsolatokkal kapcsolatos feltételek kioltják egymást.

A szokásos időderiválták fent említett "kiegészítései" a tenzormezők Lie - variációi (vagy más szóval Lie deriváltjai ) egy vektormező mentén , amelyeket a kiváló norvég matematikus, Sophus Lie (1842-1899) tanulmányozott. $V^i$

A jól ismert centrifugális és Coriolis gyorsulások, amelyek egy forgó nem tehetetlenségi rendszerben jelennek meg, további tagok egy mozgó anyagpont sebességvektorának invariáns időbeli deriváltjában.

Irodalom

D. E. Burlankov: A tér dinamikája. Monográfia 2005 179 pp.