A piszkos gyerekek problémája , más néven a hűtlen feleség problémája , a kék szemű szigetlakó probléma vagy a kék szemű szigetlakó paradoxona , a közös tudás gondolatának klasszikus illusztrációja . A dinamikus episztemikus logika területéhez tartozik, matematikai indukcióval oldják meg .
A gyerekek kint játszottak, apjuk behívta őket a házba. A gyerekek apjuk köré gyűltek. Könnyen elképzelhető, hogy játék közben néhányan koszosak lettek; különösen egyeseknek sáros az arca. Minden gyerek csak a többi gyermek arcán látja a szennyeződést, saját magán nem. Mindezt mindenki tudja, és a gyerekek természetesen ideális logikusok. Az apa azt mondja: – Legalább egyikőtök sár borítja. Aztán: "Azok, akik tudják, hogy piszkosak vagytok, lépjenek előre." Ha senki nem tesz egy lépést sem előre, az apa újra és újra megismétli a parancsát. Egy bizonyos iterációnál minden piszkos gyerek tesz egy lépést előre. Pontosan mikor fog ez megtörténni, ha a teljes k számából m gyerek koszos , és miért?
Eredeti szöveg (angol)[ showelrejt] Egy csapat gyerek játszott kint, és apjuk visszahívja őket a házba. A gyerekek köréje gyűlnek. Elképzelhető, hogy némelyikük piszkos lett a darabtól. Különösen: sár lehet az arcuk. A gyerekek csak azt látják, hogy a többi gyerek sáros-e, és azt nem, hogy a saját arcán van-e sár. Mindez közismert, és a gyerekek nyilvánvalóan tökéletes logikusok. Apa most azt mondja: „Legalább az egyikőtök sáros.” Aztán: „Előrelépnek-e azok, akik tudják, hogy sárosak?” Ha senki nem lép előre, apa folyamatosan ismétli a kérést. Valamikor minden sáros gyerek előrelép. Mikor fog ez megtörténni, ha összesen k gyerekből m sáros, és miért? – van Ditmarsch & Kooi, 2015A történések elemzésekor a matematikai indukció módszerét alkalmazzuk [1] .
Ez az okfejtés azt mutatja be, hogy a folyamat m-edik iterációjával hogyan tudhatják a gyerekek biztosan, hogy piszkosak . Azonban annak szigorú bizonyítéka, hogy semmilyen más érvelés nem vezeti őket hamarabb erre a következtetésre, meglehetősen nem triviális [2] .
Tekintsük m = 2 piszkos gyerek, Alice és Bob példáját [3] [4] .
m = 3 gyermek esetén - Alice, Bob, Caroline [4] :
A probléma megoldásában és a gyerekek gondolkodásának modellezésében kulcsszerepet játszik annak ismerete, hogy a folyamat többi résztvevője mit tud, és különösen az, hogy amikor az apa következő parancsára senki nem veszi át lépés előre, ez egyenértékű egy nyilvános értesítéssel (hasonlóan az apa kijelentéséhez, miszerint van legalább egy koszos gyerek), hogy idáig egyik gyerek sem tudta, hogy piszkos-e vagy sem. Az is fontos, hogy a gyerekek ne hazudjanak, tökéletesen logikusan okoskodnak, és ezek a tények is mindenki előtt ismertek, vagyis felhasználhatók az érvelésben, többek között egyes résztvevők érvelésének mások általi modellezésében. Az érvelés lényegében arra épül, hogy mindegyik résztvevő tudja, hogy mindegyikük tudja, hogy mindenki ismeri... az apa kezdeti kijelentésének tartalmát és az ő parancsainak eredményét, hogy tegyen egy lépést előre, és ez a lánc meglehetősen hosszúra nyúlik. Ez így van, hiszen ezek a tények köztudomásúak – a "mindenki tudja, hogy mindenki tudja, hogy..." láncok igazak, tetszőlegesen hosszúak. A közös tudás fogalma fontos az episztemikus logikában, a piszkos gyerekek probléma pedig egy klasszikus példa, amely szemlélteti e fogalom tartalmát és a megoldásban használt egyéb rendelkezések fontosságát [5] .
Hasonló problémát találtunk, amely azonban nem tartalmazta a szinkronizálást, vagyis az információcsere jól körülhatárolható pillanatait (például az apától érkező parancsokat, hogy lépjen elő), a híres 1832-es német fordításhoz fűzött kommentekben. szatirikus regény Gargantua és Pantagruel . Ez a feladat (mind a szinkronizálás nélküli változatban, mind a vele együtt) a 20. század közepén vált ismertté, más feladatok mellett, amelyek bizonyos résztvevők tudatosságának és érvelésének elemzését vonták maguk után mások által [1] .
A probléma körülményeire számos lehetőség kínálkozik, logikailag egyenértékű, de környezetében eltérő [6] : például a sárba maszatolt gyerekek helyett hűtlen feleségek jelenhetnek meg az állapotában, amelyek mindegyike mindenki számára hűtlen. kivéve a saját férjét - ebben az esetben az első napon nyilvános bejelentés történik, hogy hűtlen feleségek vannak a városban, és a férjnek még aznap este meg kell büntetnie a feleségét, amikor rájön, hogy hűtlen (vagy fordítva, a feleségek megbüntetik a hűtlen férjeket) [7] .
Egy másik változatban megjelennek a kék szemű szigetlakók [6] - a vallás minden szigetlakót arra kötelez, hogy a következő éjfélkor öngyilkos legyen, ha felismeri a szeme színét, a feladat kiindulópontja pedig a szigetre látogató mása, amiből az következik, hogy a szigeten van legalább egy kék szemű lakos . Ebben a környezetben a probléma paradoxonként is megfogalmazódik : az indukciós érvelés azt mutatja, hogy ha m kékszemű szigetlakó van a szigeten, akkor m -edik éjfélkor mindannyian öngyilkosságot követnek el, még akkor is, ha m nagy - de miért tűnik úgy, hogy a látogató semmi újat nem mondott a szigetlakóknak, mert nap mint nap rengeteg kék szemű törzstagot látnak? A fentiekből következően a paradoxon megoldása az, hogy a látogató nyilvánosan elhangzott megjegyzése előtt a „bármely szigetlakó tudja, hogy bárki tudja, hogy bárki tudja... hogy kék szeműek élnek a szigeten” lánc nem olyan hosszúságot ér el, amely elegendő ahhoz, hogy információt nyerjen a saját szeme színéről [4] [2] . A probléma ilyen formában történő megfogalmazásakor különösen fontos a bennszülöttekre vonatkozó szabályrendszer gondos felállítása, hogy ne legyen lehetőségük kikerülni őket, és elkerülni a szomorú kimenetelt [8] .