Minkowski probléma

Minkowski problémája:

létezik-e olyan zárt konvex hiperfelület, amelynek Gauss-görbülete az egységnyi kifelé irányuló normálvektor adott függvénye . $F$ $G(n)$ $n$

Minkowski állítja , aki a probléma általánosított megoldását birtokolja abban az értelemben, hogy az nem tartalmaz információt a szabályosság természetéről , még akkor sem, ha analitikus függvény . Bebizonyította, hogy ha az egységhipergömbön definiált folytonos pozitív függvény kielégíti a feltételt $F$ $G(n)$ $S$ $G(n)$

\int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,

akkor létezik, és ráadásul egy egyedi (legfeljebb párhuzamos fordítás ) zárt konvex felület , amelyre a Gauss-görbület egy olyan pontban, ahol a kifelé normális . $F$ $G(n)$ $n$

A Minkowski-probléma rendszeres megoldását AV Pogorelov adta 1971 -ben . Konkrétan bebizonyította, hogy ha a , osztályba tartozik , akkor a kapott felület a simasági osztályba tartozik , és analitikusság esetén a felület is analitikusnak bizonyul. $K(n)$ ${\displaystyle C^{m))$ $m\geq 3$ $F$ ${\displaystyle C^{m+1,\alpha ))$ $K(n)$ $F$

Változatok és általánosítások

Van a Minkowski-probléma általánosítása Riemann-térre [1] .

Lásd még

Minkowski poliéder tétele

Irodalom

↑ Bodrenko AI A Minkowski-probléma megoldása nyílt felületekre a Riemann-térben. Archiválva 2020. február 21-én a Wayback Machine Arxiv.org oldalán, 2007.

Minkowski H. Volumen und Oberflache, Mathematische Annalen 57 (1903) 447-495
Pogorelov A. V., Minkowski többdimenziós problémája, Moszkva, 1971;
Buseman G. Konvex felületek. – 1964.