Cobon-háromszög probléma

Megoldatlan matematikai feladatok :
Hány nem átfedő háromszög alkotható k egyenes konfigurációjával?

A Kobon-háromszög probléma egy megoldatlan kombinatorikus geometriai probléma , amelyet Kozaburo Fujimura (藤村 幸 三郎fujimura ko:zaburo: ) fogalmazott meg , más néven Kobon. A feladat azt kérdezi, hogy mekkora N ( k ) a nem átfedő háromszögek száma, amelyek oldalai k egyenes konfigurációjához tartoznak . A probléma egy változatát a projektív síkban vesszük figyelembe , és nem az euklideszi síkban, és ebben az esetben szükséges, hogy a háromszögeket ne metssék a konfiguráció más egyenesei [1] .

Felső határok

Saburo Tamura bebizonyította, hogy a k ( k  − 2)/3-at meg nem haladó legnagyobb egész szám felső korlátot ad a k egyenesből kapott nem átfedő háromszögek maximális számának [2] . 2007-ben Johannes Bader és Gilles Clément ( németül  Johannes Bader , franciául  Gilles Clément ) talált egy erősebb korlátot, ami azt bizonyítja, hogy Tamura felső korlátja nem érhető el egyetlen 0-val vagy 2-vel modulo 6-hoz tartozó k kongruens esetén sem [3] . Ezért ezekben az esetekben a háromszögek maximális száma eggyel kevesebb, mint a Tamura-határ. K = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 és 17 esetén ismertek tökéletes megoldások (a Cobon-probléma megoldása, amely a háromszögek maximális számát adja meg) [4] . K = 10, 11 és 12 esetén a legismertebb megoldások eggyel kisebbek a felső korlátnál.

Adott egy tökéletes megoldás k 0 vonallal, a Cobon-háromszög problémára más megoldások is találhatók k i minden értékére , ahol

D. Forge és J. L. Ramirez Alfonsin [1] [5] eljárását alkalmazva . Például a k 0 = 3 megoldása a nem átfedő háromszögek maximális számát eredményezi k = 3, 5, 9, 17, 33, 65, …

k 3 négy 5 6 7 nyolc 9 tíz tizenegy 12 13 tizennégy tizenöt 16 17 tizennyolc 19 húsz 21 OEIS
Felső Tamura irány é ( k ) egy 2 5 nyolc tizenegy 16 21 26 33 40 47 56 65 74 85 96 107 120 133 [6]
Clément és Bader felső határa egy 2 5 7 tizenegy tizenöt 21 26 33 39 47 55 65 74 85 95 107 119 133 —
Legismertebb megoldások egy 2 5 7 tizenegy tizenöt 21 25 32 38 47 53 65 72 85 93 104 115 130 [7]

Példák

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Forge, Ramírez Alfonsín, 1998 , p. 155–161.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Kobon háromszög  a Wolfram MathWorld webhelyén .
  3. ↑ G. Clément és J. Bader. Szorosabb. A Kobon-háromszögek számának felső határa. Vázlat (nem elérhető link) (2007). Letöltve: 2016. március 10. Az eredetiből archiválva : 2017. november 11.. 
  4. ↑ Ed Pegg Jr. on Math Games Archivált 2016. március 11-én a Wayback Machine -nél .
  5. ↑ D. Forge és JL Ramirez Alfonsin eljárását illusztráló Matlab-kód Archiválva : 2021. március 8. a Wayback Machine -nél . Letöltve: 2012. május 9.
  6. ↑ A032765 sorozat az OEIS- ben .
  7. ↑ A006066 sorozat az OEIS- ben .

Irodalom

Linkek