Kettő

A diád a második rangú speciális tenzor , két vektor külső szorzata [1] [2] . A komponens jelölésben a diádnak van alakja

\ A_{ij}=a_{i}b_{j},

Nem koordináta formában

\mathbf {A} =\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}

, vagy csak

\mathbf {ab}

Bármely bivalens tenzor felbontható legfeljebb n diád összegére, ahol n az eredeti lineáris tér dimenziója, mivel

{\begin{bmatrix}0&\pontok &a_{1}&\pontok &0\\0&\pontok &a_{2}&\pontok &0\\\pontok &\pontok &\pontok &\pontok &\pontok \ \0&\dots &a_{n}&\dots &0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\pontok \\a_{n}\end{bmatrix} }\otimes {\begin{bmatrix}0&\pontok &1&\pontok &0\end{bmátrix}}

és bármely mátrix legfeljebb n ilyen "egyoszlopos" mátrix összegeként ábrázolható .

Példa a diádra

Vegyünk például egy vektorpárt

\mathbf {A} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j}

és

\mathbf {B} =c\mathbf {i} +d\mathbf {j} .

Ekkor A és B tenzorszorzata az

\mathbf {A\otimes B} =ac\mathbf {i\otimes i} +ad\mathbf {i\otimes j} +bc\mathbf {j\otimes i} +bd\mathbf {j\otimes j }

Forgatás operátor

Bivalens tenzor

\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j}

a síkot 90°-kal (az óramutató járásával ellentétes irányba) forgató operátor . A vektortól balra hat, és elforgatást hoz létre:

(\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {i)} -x\mathbf {i(j} \cdot \mathbf {i)} +y\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {j)} -y\mathbf {i(j} \ cdot \mathbf {j)} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} .

Diádok használata

A fizikában

A kétértékű tenzorok legegyszerűbb komponenseiként a diádok alkalmazásra találtak a kristályfizikában a kristályok szimmetriatulajdonságainak leírásában . Ez a megközelítés a legnagyobb fejlődést az úgynevezett kovariáns vagy koordináta nélküli módszerben érte el , amelyet a fehérorosz elméleti fizikai iskola fejlesztett ki.

Jegyzetek

↑ Lipschutz, S. Lineáris algebra / S. Lipschutz, M. Lipson. — 4. - McGraw-Hill, 2009. - ISBN 978-0-07-154352-1 .
↑ Keller, Frank A mátrixok algebrai tulajdonságai; átültetni; Belső és külső termék . inf.ed.ac.uk (2020. február 23.). Letöltve: 2020. szeptember 6. Az eredetiből archiválva : 2021. június 23. (határozatlan)

Irodalom

Kochin N. E. A vektorszámítás és a tenzorszámítás kezdetei. - 9. kiadás — M .: Nauka , 1965. — 424 p.
Dimitrienko Yu. I. Tenzorszámítás. - M . : Felsőiskola , 2001. - 575 p.