Kettősség (kategóriaelmélet)

A dualitás a kategóriaelméletben a C kategória tulajdonságai és a C duális kategória úgynevezett duális tulajdonságai közötti kapcsolat . Ha figyelembe vesszük a C kategóriára vonatkozó állítást, és felcseréljük az egyes morfizmusok képét és előképét, valamint a morfizmusok alkalmazási sorrendjét, a C op kategóriára vonatkozó kettős állítást kapjuk . A kettősség elve az , hogy az igaz állítások egy ilyen művelet után igazak, a hamis állítások pedig hamissá válnak.

Formális definíció

A kategóriaelmélet nyelve egy elsőrendű nyelv , amely kétféle szimbólumot, objektumot és morfizmust tartalmaz, és egy objektumnak az a tulajdonsága, hogy egy morfizmus képe vagy prototípusa, valamint a morfizmusok kompozíciójának szimbóluma.

Legyen σ a nyelv bármely szava. A σ op kettős szavát a következő szabályok alkotják:

cserélje fel az összes "képet" az "előképekkel" a σ - ben,
fordítsa meg a morfizmusok összetételének sorrendjét, azaz cserélje le az összes előfordulást -re . $g\circf$ $f \circ g$

Más szavakkal, meg kell fordítania az összes nyilat , és át kell rendeznie az összes kompozíció argumentumait .

A kettősség az a megfigyelés, hogy σ akkor és csak akkor teljesül valamelyik C kategóriában , ha σ op teljesül C op -ban .

Példák

A morfizmus monomorfizmus , ha ebből következik . A dualitás műveletét alkalmazva a -ból következő állítást kapjuk . Egy morfizmus esetében ez pontosan azt jelenti, hogy f az epimorfizmusa . Így a „monomorfizmusnak lenni” tulajdonság kettős az „epimorfizmusnak lenni” tulajdonsággal. $f\colon A\to B$ $f\circ g=f\circ h$ $g=h$ $g\circ f=h\circ f$ $g=h$ $f\colon B\to A$
A limit és a kolimit kettős fogalom.
A kezdeti objektum és a terminálobjektum kettős fogalom.

Irodalom

I. M. Vinogradov. Kettős kategória // Mathematical Encyclopedia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
I. M. Vinogradov. A kettősség elve // Mathematical Encyclopedia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
I. M. Vinogradov. S-dualitás // Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
McLane S. 2. fejezet. Konstrukciók kategóriákban // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .