Groupoid (kategóriaelmélet)

A kategóriaelméletben a csoportoid egy olyan kategória, amelyben minden morfizmus izomorfizmus. A groupoidok a csoportok általánosításának tekinthetők : a csoportnak megfelelő kategóriában pontosan egy objektum és egy nyíl van minden elemhez -ból , a nyilak összetételét a csoport megfelelő elemeinek szorzataként adjuk meg, ahol minden nyíl izomorfizmus; így egy groupoid nyilak halmazát tekinthetjük valamilyen részben meghatározott bináris szorzási művelettel rendelkező halmaznak, így minden elemhez van bal és jobb inverz, valamint szorzás útján bal és jobb egység. $G$ $g$ $G$

A csoportoidok természetesen helyettesítik a szimmetriacsoportokat a kategóriaelméletben, és az izomorf objektumok osztályainak osztályozásában merülnek fel.

Minden kategória, amely csoport, csoportoid. Egy tetszőleges kategória esetén a groupoid egy olyan alkategória , amelynek objektumai egybeesnek az objektumokkal , és a morfizmusok mindegyike lehetséges izomorfizmus a -ben . $C$ $D\hookrightarrow C$ $C$ $C$

Egy útvonalhoz kapcsolódó topológiai tér esetében az alapvető csoportoidot egy 2-kategóriásként határozzuk meg , amelynek minden objektuma pontja innen , a nyilak pedig az összes lehetséges (geometriai) útvonalnak felelnek meg -tól -ig : $x$ $\Pi _{1}(X)$ $x$ $x\X-ben$ $y\ az X-ben$ $x$ $y$

f\kettőspont [0;1]\-X,~f(0)=x,\;f(1)=y

A két függvény és ugyanazt az elérési utat adja meg, ha létezik , így vagy . A nyilak összetételét az utak összetétele adja meg: $f$ $g$ $s:[0;1]\-től [0;1]-ig$ $f=g\circs$ $g=f\circs$

fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{ esetek}}

A -tól -ig 2-morfizmus homotópia -tól -ig . A fundamentális csoportoid az alapcsoport kategorizálása . Előnye, hogy a térben nincs szükség megjelölt pont megválasztására, így nem okoz gondot a különböző pontokban lévő alapcsoportok nem kanonikus izomorfizmusa, vagy a több összefüggő komponensből álló terekkel. Az alaphurok csoport egy pontból az objektum 2-izomorf automorfizmusainak csoportjaként jön létre . $f$ $g$ $f$ $g$ $x\X-ben$ $x\in \Pi _{1}(X)$

A nem degenerált leképezésekkel rendelkező összehúzható tér feletti rangú vektorkötegek kategóriája természetesen csoportoidot alkot; Ebben a vonatkozásban bevezetik a djerba fogalmát (ami a verem sajátos esete ), amely egy adott típusú kévék kategóriájára vonatkozó szerkezet. A gerbek kohomológiai csoportok szerint osztályozott geometriai objektumok , ahol a csoportok kötege látható . A fogalom különösen fontos a nem Abeli csoportok esetében . $n$ $H^{2}(X,{\mathcal {G}})$ ${\mathcal {G}}$ $x$ ${\mathcal {G}}$

Irodalom

McLane S. 1. fejezet. Kategóriák, funktorok és természetes transzformációk // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .