Grothendieck csoport

A Grothendieck csoport egy absztrakt algebra fogalom, amely számos alkalmazással rendelkezik, beleértve a reprezentációs elméletet , az algebrai geometriát és a K-elméletet. Alexander Grothendieck francia matematikusról nevezték el , aki az 1950-es évek közepén vezette be a fogalmat.

Legyen egy kommutatív monoid , azaz egy kommutatív félcsoport semleges elemmel . Nevezzük még a műveletet . A monoid Grothendieck-csoportja (általában vagy jelöléssel) egy Abeli-csoport, amely (bizonyos értelemben) a monoid kiterjesztése egy csoportra, azaz nemcsak az összeg, hanem a különbséget is megengedi. két elem. $M$ $M$ $M$ $K$ $K_{0}$ $M$

Általános tulajdonság

Informálisan szólva, a kommutatív monoid Grothendieck-csoportja univerzális módja annak, hogy Abel-csoportot alkossunk monoidból, monoidot "csoportosítsunk".

Legyen kommutatív monoid. Ekkor Grothendieck-csoportjának a következő univerzális tulajdonsággal kell rendelkeznie : létezik monoid homomorfizmus $M$ $K$

i\colon M\rightarrow K

olyan, hogy bármely monoid homomorfizmusra

f\colon M\rightarrow A

egy Abel-csoporthoz az Abel-csoportok egyedi homomorfizmusa létezik $A$

g\colon K\rightarrow A

oly módon, hogy

f=g\circ i.

A kategóriaelmélet szempontjából egy kommutatív monoidot a Grothendieck-csoportjába felvevő funktor a felejtő funktor bal oldali adjunkt funktora az Abel-csoportok kategóriájából a kommutatív monoidok kategóriájába. $M$ $K$

Explicit meghatározás

Tekintsünk egy derékszögű szorzatot , amelynek elemei párok , ahol . Definíció szerint a párok olyan különbségeknek felelnek meg, amelyek összeadását adjuk meg $M\times M$ $(a,b)$ $a,b\in M$ $(a,b)$ $ab$

(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').

Az így definiált összeadás az asszociativitás és a kommutativitás tulajdonságaival rendelkezik (a monoid hasonló tulajdonságaiból következik ). $M$

A Grothendieck csoport definiálásához egy ekvivalencia relációt kell bevezetni a halmazra , amely alatt az elemek és az elemek ekvivalensek , amelyre az egyenlőség $K$ $M\times M$ $(a,b)$ $(a',b')$

a+b'+c=a'+b+c

valamilyen elemmel . A reflexivitás, a szimmetria és a tranzitivitás tulajdonságainak teljesülése triviálisan igazolt. E definíció értelmében egy elem ekvivalenciaosztálya minden elemet tartalmaz . Ezt az osztályt az elemek formális különbségének nevezzük, és jelölése . $c\in M$ $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (a+c,b+c)}$ $c\in M$ $a$ $b$ $ab$

Az így, összeadási művelettel meghatározott formális különbségek (ekvivalencia osztályok) halmaza alkotja a monoid Grothendieck csoportját . $K$ $M$

Egy csoport semleges (nulla) eleme egy ekvivalenciaosztály, amely az összes lehetséges alak párjaiból áll . Az elemmel ellentétes elem alakja van (mind az első, mind a második esetben a megfelelő ekvivalencia osztályok vannak benne). $K$ ${\megjelenítési stílus (a,a)}$ $a \ in M$ $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (b,a)}$

Létezik egy természetes beágyazás , amely lehetővé teszi számunkra a kiterjesztését . Ugyanis minden elemhez hozzá van rendelve egy formai különbség , azaz. az összes lehetséges elem osztálya . $M\to K$ $K$ $M$ $a \ in M$ $a-0$ ${\megjelenítési stílus (a+c,c)}$ $c\in M$

Példák

A Grothendieck-csoport legegyszerűbb példája az egész számok felépítése természetes számokból. Először ellenőrizzük, hogy a közönséges összeadású természetes számok valóban kommutatív monoidot alkotnak-e. Most a Grothendieck-csoport konstrukciójával vegyük figyelembe a természetes számok formális különbségeit az ekvivalenciarelációval $(\mathbb {N} ,+)$ $nm$

nm\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.

Most határozzuk meg

n:=[n-0],

-n:=[0-n]

mindenkinek . Ez a konstrukció egész számokat határoz meg . $n \in \mathbb N$ $\mathbb {Z}$

Linkek

Grothendieck csoport Archiválva : 2011. május 14., a Wayback Machine on PlanetMath .
Michael Atiyah . K-Theory, (D. W. Anderson jegyzetei, 1964. ősz), 1967-ben jelent meg, W. A. Benjamin Inc., New York.
Jonathan Rosenberg. Algebrai K-elmélet és alkalmazásai, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3 .