Duffin-Shaffer hipotézis

A Duffin-Schaffer-sejtés fontos sejtés a metrikus számok elméletében, amelyet R. Duffin és A. Schaeffer javasolt 1941-ben. [1] Azt állítja, hogy ha egy valós függvény pozitív értékeket vesz fel, akkor szinte mindegyiknél ( a Lebesgue-mértékhez képest ) az egyenlőtlenség ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+))$ $\alpha$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}

végtelen sok megoldása van a koprímszámokban ( ) akkor és csak akkor $p,q$ $q>0$

\sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q))=\infty ,

hol van az Euler-függvény . $\varphi (q)$

Ennek a sejtésnek a többváltozós analógját Vaughan és Pollington igazolta 1990-ben. [2] [3] [4]

Történelem

A Borel–Cantelli lemmából az következik , hogy ha léteznek racionális közelítések, akkor a sorozat divergál. [5] A fordított állítás ennek a hipotézisnek a lényege.

Sok bizonyítékot szereztek a Duffin–Schaeffer-sejtés speciális eseteire. 1970-ben Erdős Pál megállapította, hogy egy sejtés akkor igaz, ha létezik olyan állandó , amely minden egész számra , vagy . [2] [6] 1978-ban Jeffrey Waaler ezt az eredményt az esetre erősítette . [7] [8] Újabban Haynes, Pollington és Velani tovább erősítette az eredményt [9] , a sejtés igaz, ha létezik olyan szám , amelyre a sorozat $c>0$ $n$ $f(n)=c/n$ $f(n)=0$ $f(n)=O(n^{-1})$ $\varepsilon >0$

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty

2006-ban Beresnevich és Velani bebizonyította, hogy a Duffin–Schaeffer-sejtés megfelelője a Hausdorff-mértékre egyenértékű az eredeti Duffin–Schaeffer-sejtéssel, amely eleve gyengébb. Ezt az eredményt az Annals of Mathematics -ban tették közzé . [tíz]

2019 júliusában Dimitris Koukoulopoulos és James Maynard bebizonyította ezt a Duffin-Shaffer-sejtést. [tizenegy]

Jegyzetek

↑ RJ; Duffin. Khintchine problémája a metrikus diofantin közelítésben // Duke Math . J. : folyóirat. - 1941. - 1. évf. 8 , sz. 2 . - P. 243-255 . - doi : 10.1215/S0012-7094-41-00818-9 .
↑ 1 2 Montgomery, Hugh L. Tíz előadás az analitikus számelmélet és a harmonikus elemzés interfészéről . - 1994. - 1. évf. 84.
↑ Kr. u. Pollington. A k dimenziós Duffin–Schaeffer sejtés // Mathematika : folyóirat. - 1990. - 1. évf. 37 . - 190-200 o . — ISSN 0025-5793 . - doi : 10.1112/s0025579300012900 .
↑ Harman (2002) p. 69
↑ Harman (2002) p. 68
↑ Harman (1998) p. 27
↑ Matematika Tanszék . (határozatlan) (nem elérhető link)
↑ Harman (1998) p. 28
↑ A. Haynes, A. Pollington és S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 Archiválva 2021. május 7-én a Wayback Machine -nél
↑ Viktor; Beresnyevics. A tömegátviteli elv és a Duffin-Schaeffer-sejtés Hausdorff-mértékekre // Annals of Mathematics : folyóirat . - 2006. - 20. évf. 164 . - P. 971-992 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 . - arXiv : math/0412141 .
↑ D.; Koukoulopoulos. A Duffin–Schaeffer-sejtésről (neopr.) . - 2019. - arXiv : 1907.04593 .

Irodalom

Harman, Glyn (1998). Metrikus számelmélet. Londoni Matematikai Társaság monográfiái. új sorozat. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
Harman, Glyn (2002). "Száz év normális számok". Bennettben, MA; Berndt, B.C.; Boston, N.; Gyémánt, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (szerk.). Számelméleti felmérések: A millenniumi számelméleti konferencia előadásai. Natick, MA: A. K. Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.

Linkek

Quanta cikk a Duffin-Schaeffer sejtésről. Archiválva : 2019. szeptember 14. a Wayback Machine -nél