Hiperciklikus operátor

Legyen egy topológiai vektortér (például egy Banach-tér ). A lineáris folytonos operátort hiperciklikusnak mondjuk , ha létezik olyan elem , amelynél a halmaz sűrű a -ben . Ezt az elemet az operátor hiperciklikus vektorának nevezzük . $x$ $T:X\rightarrow X$ $x\X-ben$ $\left\{T^{n}x,n=0,1,2,...\right\}$ $x$ $x$ $T$

A hiperciklicitás fogalma a topológiai tranzitivitás tágabb fogalmának egy speciális esete .

Példák

A hiperciklikus operátor első példáját Birkhoff adta 1929-ben.

1969-ben Rolevich bebizonyította, hogy a térben a fordított eltolási operátor , megszorozva egy konstanssal , hiperciklikus , egy sorozatot szekvenciává alakít . $l^2$ $\lambda :|\lambda |>1$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\in l^{2))$ ${\displaystyle (\lambda a_{2},\lambda a_{3},\lambda a_{4},\ldots )\in l^{2))$

1988-ban Charles Reed előállt egy példával egy Banach- tér $l^{1}$ operátorára, amelynek minden nullától eltérő vektora hiperciklikus. Ez egy ellenpélda a Banach-terek invariáns alterének létezésének jól ismert problémájára. A Hilbert-terek esetében a probléma nyitott marad.

Linkek

K.-G. Grosse Erdmann. Univerzális családok és hiperciklikus operátorok. Archiválva : 2007. április 30. a Wayback Machine -nél
Read, CJ (1988), The invariant subspace problem for a class of Banach spaces, 2: hypercyclic operators , Israel Journal of Mathematics 63 (1): 1–40, MR : 0959046 , ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/ BF02765019