Rayleigh hullámai

A Rayleigh-hullámok felszíni akusztikus hullámok . Nevüket Rayleigh -ről kapták , aki elméletileg 1885-ben jósolta meg őket [1] .

Leírás

A Rayleigh-hullámok a szilárd test felülete közelében terjednek. Az ilyen hullámok fázissebessége a felülettel párhuzamosan irányul. Az ilyen hullámban lévő közeg részecskéi elliptikus mozgást végeznek a szagittális síkban (amelyben a sebességvektor és a felület normálja van). Az oszcillációs amplitúdók a felülettől való távolsággal exponenciális törvények szerint csökkennek, és a hullámenergia a felülettől egy hullámhossznyi távolságra lévő tartományban koncentrálódik [2] .

Rayleigh-hullám izotróp testben

Egy homogén, izotróp és ideálisan rugalmas, ρ sűrűségű, végtelenül kis térfogatú közeg mozgásegyenlete a következőképpen írható fel:

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm {div}\textbf{U},

(egy)

ahol U egy végtelenül kis térfogat elmozdulása az egyensúlyi helyzethez képest, λ és μ rugalmassági állandók , Δ a Laplace-operátor . Egy adott hullámegyenletre a megoldásokat keresztirányú és hosszanti elmozdulások U = U t + U l szuperpozíciója formájában keressük , ahol U l =grad φ és U t =rot ψ . φ és ψ skaláris és vektorpotenciálok. Az ( 1 ) egyenlet új ismeretlenekre egy hullámegyenlet független elmozdulási komponensekre [3] :

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_l}{\partial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,

(2.1)

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_t}{\partial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.

(2.2)

Ha a hullám az x tengely mentén terjed, akkor az izotróp esetnél csak az (x, z) síkban bekövetkező rezgések jöhetnek számításba. Figyelembe véve a komponensek y-tól való függetlenségét síkharmonikus hullám esetén, a potenciálok hullámegyenletei a következőképpen alakulnak:

\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-k_l^2\frac{\partial^2 \phi}{ \partial t^2}=0,

(3.1)

\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}-k_t^2\frac{\partial^2 \psi}{ \partial t^2}=0,

(3.2)

hol vannak a hosszanti és keresztirányú hullámok hullámszámai. Ezen egyenletek megoldásait, ha csak csillapított megoldásokat vesszük, síkhullámok formájában mutatjuk be [4] : $k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$ $k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$

\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],

(4.1)

\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],

(4.2)

hol ; ; ; A és B tetszőleges állandók. Ezek a megoldások a hullámegyenlet általános megoldását jelentik csillapított hullámra, és egy konkrét megoldás megtalálásához a közeg felületén peremfeltételeket kell felállítani. $q^2=k^2-k_l^2$ $s^2=k^2-k_t^2$ $k^2>k_t^2>k_l^2$

Az eltolási komponensek a következők:

U_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial z},

(5.1)

U_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \psi}{\partial x}.

(5.1)

Szabad határ esetén a feszültségtenzor komponensek nulla értéket vesznek fel:

T_{zz}=\lambda\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)+2 \mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0,

(6.1)

T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z))+{\frac {\partial ^{2}\psi } {\partial x^{2))}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2))}\right)=0.

(6.2)

A ( 4 ) megoldások behelyettesítése után az A és B amplitúdójú homogén lineáris egyenletrendszert kapjuk , amelynek csak akkor van nem triviális megoldása, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával ( Rayleigh-egyenlet ), mégpedig [5 ] :

\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,

(6)

ahol ,. _ Ennek az egyenletnek egyetlen gyöke van a Rayleigh-hullámhoz kapcsolódóan, amely csak a ν Poisson-aránytól függ: $\eta=k_t/k$ $\xi=k_l/k_t$

\eta_R=\frac{0,87+1,12\nu}{1+\nu}.

(7)

Innen találhatók a Rayleigh-hullám eltolási komponensei [6] :

U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[ i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],

(8.1)

U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\ left[i\left(k_Rx-\omega t\right)\right].

(8.2)

A Rayleigh-típusú hullámok gyakorlati alkalmazásai

A Rayleigh típusú hullámokat (pszeudo-Rayleigh hullámok) sikeresen alkalmazzák a mérnöki szeizmikus felmérésekben az alagutak [7] , vasbeton, betonlapok, falazat vagy járda mögött elhelyezkedő kőzetek és talajok rugalmassági paramétereinek vizsgálatára [8] . A sebességek mélységgel történő növekedése esetén (általában a nappali felszínről végzett vizsgálatok során) az alsó rétegben a keresztirányú hullámok sebességét a pszeudo-Rayleigh-hullámok diszperziós görbéiből határozzuk meg (lásd az ábrát). Ezt a módszert széles körben alkalmazzák a gyakorlatban, és a rugalmasság elmélete szempontjából igazolják.

Jegyzetek

↑ Lord Rayleigh. Rugalmas szilárd anyag síkfelülete mentén terjedő hullámokról // Proc . London Math. szoc. : folyóirat. - 1885. - Kt. s1-17 , sz. 1 . - P. 4-11 .
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. tizenegy.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. 7.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. nyolc.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. 9.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. tíz.
↑ A szállítóalagutak burkolata mögötti talajok tulajdonságainak és állapotának értékelése 2D szeizmikus tomográfia szerint. Boyko O. V. (elérhetetlen link) . Letöltve: 2015. július 10. Az eredetiből archiválva : 2015. július 10. (határozatlan)
↑ Falazattal, betonnal, vasbeton szerkezetekkel és burkolattal borított talajok fizikai és mechanikai tulajdonságainak, szilárdsági jellemzőinek meghatározása. (nem elérhető link) . Hozzáférés időpontja: 2015. július 10. Az eredetiből archiválva : 2015. július 9.. (határozatlan)

Irodalom

Viktorov IA Hangfelszíni hullámok szilárd testekben. — M .: Nauka, 1981. — 287 p.

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai Britannica (online)