Visszatérési egyenlet

A visszatérési egyenlet egy algebrai egyenlet az alak egyik változójában

\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))=0 \Baljobbra nyíl a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+\pontok

\dots +a_{n-1}x^{n+2}+a_{n}x^{n+1}+\lambda ^{1}a_{n}x^{n}+\lambda ^{3}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{5}a_{n-2}x^{n-2}+\pontok

\dots +\lambda ^{2n-3}a_{2}x^{2}+\lambda ^{2n-1}a_{1}x+\lambda ^{2n+1}a_{0}= 0

páratlan fokra és $2n+1$

\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))=0\jobbra balra nyíl a_{0} x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+\pontok

\dots +a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\lambda ^{1}a_{n-1}x^{n-1}+ \lambda ^{2}a_{n-2}x^{n-2}+\lambda ^{3}a_{n-3}x^{n-3}+\pontok

\dots +\lambda ^{n-2}a_{2}x^{2}+\lambda ^{n-1}a_{1}x+\lambda ^{n}a_{0}=0

egyenletes fokozatra , ahol . A reciprok polinom egy olyan polinom , amely a [1] reciprok egyenletben nullával egyenlő . $2n$ $a_{0}\neq 0$

Alternatív módja a

A páratlan fokú polinomot ismétlődőnek nevezzük , ha valamely egyenlőség bármelyikre igaz . Egy páros fokú polinomot ismétlődőnek nevezünk , ha valamely egyenlőség bármelyikre igaz . $\sum \limits _{k=0}^{2n+1}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n+1}x^{2n+1}+\pontok +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n+1$ $\lambda \neq 0$ ${\frac {a_{k}}{a_{(2n+1)-k}}}=\lambda ^{2(nk)+1}$ $k$
$\sum \limits _{k=0}^{2n}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n}x^{2n}+\pontok +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n$ $\lambda \neq 0$ ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{(2n)-k}}}=\lambda ^{(nk)))$ $k$

Különleges esetek

Ha , azaz az ismétlődő polinom együtthatóinak sorozata szimmetrikus ( palindrom ), akkor az egyenletet szimmetrikusnak vagy szimmetrikusnak nevezzük . Ha az egyenletben részt vevő polinomról beszélünk, akkor szimmetrikusnak nevezzük (nem tévesztendő össze szimmetrikus polinommal ) [1] . $\lambda=1$

A fok csökkentése és a gyökerek keresése

Minden páratlan fokú ismétlődő polinomnak van gyöke , és egy lineáris polinom és egy páros fokú és ismétlődő polinom szorzataként jelenik meg. $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $2n+1$ $-\lambda$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}{\Big (}{\frac {x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}}{x+\lambda }}{\Big )}{\Big )}=$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )))$ $2n$

Bizonyíték

Bizonyítsuk be, hogy a polinom ismétlődő. Formába átírható , és most ugyanazok szerepelnek az összegzésben . Ekkor a és együtthatókat párokra osztjuk és egyenlő egymással . Bármely ilyen pár számainak aránya egyenlő , tehát a és a teljes együtthatók aránya azonos számmal egyenlő , ami azt jelenti, hogy a fenti alternatív definíció szerint a polinomunk ismétlődő, és az a szám, amelynek szerepe a lejátszott páratlan fokú eredeti polinomban itt játszik . ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}\sum \limits _{t=k}^{2n-k}((-1)^{tk}x ^{t}\lambda ^{2n-kt}){\Big )))$ $t$ ${\displaystyle {2n-t))$ $k$ ${\displaystyle x^{t))$ ${\displaystyle x^{2n-t))$ ${\displaystyle a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt))$ ${\displaystyle a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t)))$ $k$ ${\frac {a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt)){a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^ {2n-k-(2n-t)}}}=(-1)^{(tk)-((2n-t)-k)}\lambda ^{(2n-kt)-(2n-k-( 2n-t))}=$ $(-1)^{2(tn)}\lambda ^{2(nt)}=$ ${\displaystyle \lambda ^{2(nt)))$ ${\displaystyle x^{t))$ ${\displaystyle x^{2n-t))$ ${\displaystyle \lambda ^{2(nt)))$ $\lambda$ $\lambda ^{2}$

Tekintsünk most egy páros fokú rekurzív polinomot . A rekurzív polinom definíciója szerint tehát a nulla nem a gyöke, és átírható így , ahol az összeg polinomként átírható a fokára tekintettel . $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $2n$ $a_{0}\lambda ^{n}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\) lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $n$

Bizonyíték

Bizonyítsuk be teljes indukcióval , hogy bármely , a helyettesítésre szimmetrikus összeg átírható polinommá -ra vonatkozóan . Alap: . Átmenet: tegyük fel, hogy ez az állítás igaz minden, az adottnál kisebb hatványra . A kifejezés szimmetrikus a helyettesítésre , és ennek c különbsége rendelkezik a változó maximális fokával és szimmetrikus a jelzett helyettesítésre is, ezért az indukciót feltételezve polinomként ábrázolható. fokig . _ Ekkor a kifejezés az és kifejezések különbsége , amelyek mindegyike polinomként van ábrázolva a nem nagyobb fokhoz képest , ezért magát a kifejezést is ilyen polinomként ábrázoljuk. Ekkor , ahol az első részt legfeljebb fokszámú polinomként ábrázoljuk a fentebb bizonyított módon, a második részt pedig legfeljebb fokszámú polinomként . $n$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda }{x}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $\sum _{k=0}^{1}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\Big (}a_{1}{\Big (}x^{0}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{0}{\ Big )}+{\Big (}a_{0}{\Big (}x^{1}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{1}{ \Big )}=$ $a_{0}{\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}+a_{1}=$ $a_{0}t+a_{1}$ $n$ $t^{n}={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda }{x}}$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $n-1$ $t$ $n-1$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ ${\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}-{\Big (}x^{n}+{\Big (}{\frac { \lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )))$ $t$ $n$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\displaystyle a_{0}{\Big (}x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )}+\ összeg _{k=0}^{n-1}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{) \Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ $t$ $n$ $t$ $n$

Miután megtaláltuk a kapott egyenlet összes gyökerét, és megoldottuk az összes alak egyenletét , megkapjuk az eredeti reciprok egyenlet gyökereit . $t_{i}$ $t_{i}=x+{\frac {\lambda }{x}}$ $x$ $x_{2i-1,\;2i}={\frac {t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}}{2}}$

Feloldhatóság gyökökben

Amint fentebb látható, a és a fokok reciprok egyenletei olyan fokozati egyenletekre redukálódnak , amelyek az Abel-Ruffini tételig gyökökben oldhatók meg . Ezenkívül az a kifejezés , amely lehetővé teszi, hogy a reciprok egyenlet gyökereit ( a páratlan fok kivételével) a fent kapott fokegyenlet gyökein keresztül kapja meg, algebrai . Ezért azok a reciprok egyenletek, amelyek legfeljebb fokszámú egyenletekre redukálódnak , gyökökben oldhatók meg, és az ilyen reciprok egyenletek magukban foglalják azokat, amelyek foka nem haladja meg a -t . $2n$ $2n+1$ $n$ $n=4$ ${\Big (}t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda )){\Big )}/2$ $(-\lambda )$ $n$ $t$ $t$ $négy$ $9$

Jegyzetek

↑ 1 2 S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. "Algebra és az elemzés kezdetei. Egyenletek és egyenlőtlenségek"

Linkek

A palindromikus polinomok alaptétele (angolul) a MathPages oldalon .