Belső mérőszám

A belső metrika egy térbeli metrika , amelyet a hossz-funkcionál segítségével határozunk meg, mint az adott pontpárt összekötő összes út (görbe) hosszának infimumait .

Definíciók

Adjunk meg egy topológiai teret , és válasszunk néhány megengedett utak egy osztályát, amely az összes folytonos utak halmazában benne van -ben . $x$ $\Gamma$ $x$

A hosszúság függvény akkor van megadva a téren , ha olyan függvényt adunk meg a halmazon , amely mindegyiket egy értékkel (nem negatív számmal vagy végtelennel) társítja, amit az út hosszának nevezünk . $x$ $\Gamma$ $L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty$ $\gamma \in \Gamma$ $L(\gamma )$ $\gamma$

A térbeli metrikát belsőnek nevezzük, ha bármely két pont között a távolságot az a képlet határozza meg, ahol az infinum átveszi a pontokat összekötő összes megengedett utat . $\rho$ $x$ $x,y\X-ben$ $\rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},$ $x,y\X-ben$

Kapcsolódó definíciók

Legyen egy metrikus tér két tetszőleges pontja és egy tetszőleges pozitív szám. Egy pontot a felezőpontjuknak nevezünk, ha $x,y\X-ben$ $\rho ,X$ $\varepsilon$ $z_{\epsilon }\in X$ $\varepsilon$ $\rho (x,z_{\varepszilon }),\ \rho (y,z_{\varepszilon })<{\tfrac {1}{2))\rho (x,y)+\varepszilon .$

Egy metrikus teret geodéziainak nevezünk, ha bármely két pont a legrövidebb úton köthető össze . $(X,\rho)$ $x$

Tulajdonságok

Ha egy belső metrikával rendelkező tér, akkor bármely két és bármelyik ponthoz ott van a -közepe . Abban az esetben, ha a metrikus tér teljes , akkor a fordított állítás is megtörténik: ha bármely két pontnak és bármelyiknek létezik a -közepe , akkor ez a metrika belső. $(X,\rho)$ $x,y\X-ben$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$ $(X,\rho)$ $x,y\X-ben$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$
Egy teljes metrikus tér belső metrikával rendelkezik a következő tulajdonsággal: bármely két pontra és van egy hosszgörbe, amely összeköti a pontokat és . Ezenkívül egy teljes metrikus térben belső metrikával a legrövidebb görbe hossza egybeesik a végei közötti távolsággal. $(X,\rho)$ $x,y\X-ben$ $\varepsilon >0$ $<\rho (x,y)+\varepsilon ,$ $x$ $y$
Hopf-Rinow tétel : Ha egy lokálisan kompakt teljes metrikus tér belső metrikával, akkor bármely két pont összeköthető a legrövidebb úton. Ráadásul a tér korlátosan kompakt (vagyis minden korlátos zárt részhalmaz kompakt ). $(X,\rho)$ $x$ $x$ $x$

Lásd még

Irodalom

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. , Metrikus geometria tanfolyam. - Moszkva-Izhevsk, Számítógépes Kutatóintézet, 2004. ISBN 5-93972-300-4