Algebrai összeadás

A mátrixelem algebrai komplementere a szám $\a_{{ij}}$ $\A$

\ A_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}M_{{ij}}

ahol egy további minor , az eredeti mátrixból az i - edik sor és a j - edik oszlop törlésével kapott mátrix determinánsa . $\M_{{ij}}$ $\A$

Tulajdonságok

Egy elem algebrai komplementere az az együttható, amellyel ugyanez az elem szerepel a mátrixdeterminánsban. Ezt erősíti meg a következő tétel:

Tétel (a sorban/oszlopban lévő determináns felbontásáról). A mátrix determináns ábrázolható összegként $A$

{\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

Algebrai komplementerre a következő állítás igaz:

Lemma a determináns hamis dekompozíciójáról. Az egyik sor (oszlop) elemeinek és egy másik sor (oszlop) elemeinek megfelelő algebrai komplementereinek szorzatának összege nullával egyenlő, azaz for és . $\ \sum _{{j=1}}^{n}a_{{i_{1}j}}A_{{i_{2}j}}=\sum _{{i=1}}^{n} a_{{ij_{1}}}A_{{ij_{2}}}=0$ $i_{1}\neq i_{2}$ $j_{1}\neq j_{2}$

Ezekből az állításokból következik az inverz mátrix megtalálásának algoritmusa :

cserélje ki az eredeti mátrix minden elemét annak algebrai komplementerére,
transzponálja a kapott mátrixot - ennek eredményeként megkapjuk az uniómátrixot ,
osszuk el az egyesülési mátrix minden elemét az eredeti mátrix determinánsával.

Algebrai összeadás

Tulajdonságok

Lásd még