Páros axióma

A [egy rendezetlen] pár létezésének axiómája a következő állítás a halmazelméletből :

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

Nevezetesen: "Bármely két [azonos vagy különböző] halmazból létrehozható [legalább egy]" rendezetlen pár ", azaz olyan halmaz , amelynek minden eleme azonos egy adott halmazzal vagy adott halmazzal ." $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

A páraxióma egyéb megfogalmazásai

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b:\ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\}\ )$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\notin c\ \leftrightarrow \ b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (a_{1}\in c\ \land \ a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\ (b \neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2}\to b\notin c)\ )$

Jegyzetek

1. A páraxióma a transzformációs sémából levezethető

$\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\ \land \ c=\mathrm {f} (b)\ ))$ , ha olyan függvényt teszünk és választunk , hogy . $a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ $\mathrm {f}$ $c=\mathrm {f} (b)\ \Leftrightarrow \ (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})$

2. A térfogat axiómától vezérelve bizonyítható a [rendezetlen] pár egyedisége. Más szóval, be lehet bizonyítani, hogy a páraxióma ekvivalens az állítással

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})

, mi a

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall c'\ (\forall b\ (b\in c'\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2} )\ \leftrightarrow c=c')

Az utolsó állítás lehetővé teszi a következők megállapítását: „Bármely két [azonos vagy eltérő] halmazból csak egy „rendezetlen pár” képezhető, azaz olyan halmaz , amelynek minden eleme azonos egy adott halmazzal, ill . egy adott halmazt . $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

3. Egy pár axiómájából levezethető az egyelemű halmaz létezésére vonatkozó tétel:

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)

Lásd még

A halmazelmélet axiomatikája