A függő választás axiómája

A függő választás axiómája a választási axióma egyik gyengülése . Általában jelölik . A függő választás axiómája a teljes választási axiómából következik, és magával vonja a megszámlálható választás axiómáját , így -ban . $\mathbf {DC}$ $\mathbf {ZF}$ $\mathbf {AC} _{\omega }<\mathbf {DC} <\mathbf {AC}$

Állítás: ha adott egy tetszőleges nem üres halmaz bal-teljes relációval (a relációt bal-teljesnek nevezzük, ha létezik olyan , hogy ), akkor van egy olyan elemsorozat , hogy [1] : $x$ $R$ $R$ $x$ $y$ $xRy$ $x_{n}$ $x$

\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Rx_{n+1}

A következő állítások ekvivalensek a függő választás axiómájában: Baer kategóriatétele [2] ; Löwenheim-Skolem tétel [3] [4] ; Zorn lemma véges láncokhoz . A véges láncokra vonatkozó Zorn-lemmának két egyenértékű megfogalmazása van: $\mathbf {ZF}$

ha egy részlegesen rendezett halmazban minden lánc véges, akkor a halmaznak maximum eleme van. [1] ;
ha egy részben rendezett halmazban minden jól rendezett lánc véges, akkor a halmaznak van maximum eleme. [5]

(Annak ellenére, hogy a második készítmény erősebb, mint az első, egyenértékűek a -ban .) $\mathbf {ZF}$

Általánosítások

A függő választás axiómája transzfinit sorozatokra: ha a függő választás axióma megfogalmazásánál nem csak megszámlálható, hanem transzfinit sorozatokat is megengedünk, akkor ennek az axiómának az erősítését kaphatjuk.

Legyen valami rendes. A függvényt transzfinit sorozatnak nevezzük . Jelölje az összes olyan sorozat halmazával, amelyek típusa kisebb, mint . A transzfinit sorozatok függő választási axiómája egy bizonyos kezdő sorszámra van megfogalmazva, és jelölése . $\gamma$ $x_{\alpha }\colon \gamma \to X$ $\gamma$ ${\displaystyle S_{\gamma ))$ $\gamma$ $\lambda$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$

Legyen adott egy nem üres halmaz és balra teljes bináris reláció . Ezután azt állítja, hogy létezik egy olyan típusú transzfinit sorozat , hogy [5] . $x$ $R\subset S_{\gamma }\times X$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$ ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \lambda ))$ $\lambda$ $\forall \mu <\lambda \colon \{a_{n}\}_{n\in \mu }Ra_{\mu }$

Az axióma ekvivalens a . A nagy sorszámú általánosítások szigorúan erősebbek nála, de gyengébbek a teljes választási axiómánál: . A kezdő sorszámok teljesülése megegyezik a teljes választási axiómával: [6] . ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\omega ))$ $\mathbf {DC}$ $\mathbf {DC} <\mathbf {DC} _{\omega _{1}}<\mathbf {DC} _{\omega _{2}}<\ldots <\mathbf {AC}$ ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$ $(\forall \lambda \colon \mathbf {DC} _{\lambda })\Leftrightarrow \mathbf {AC}$

Az axiómák esetében a Zorn-lemmának megfelelő ekvivalens gyengülései vannak: ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda ))$

ha egy részlegesen rendezett halmazban az összes lánc teljesen rendezett, a sorrend típusa kisebb, mint és van felső korlátja, akkor a halmaznak maximum eleme van [5] ; $\lambda$
ha egy részlegesen rendezett halmazban minden jól rendezett láncnak van egy rendeléstípusa kisebb, mint és van felső korlátja, akkor a halmaznak maximum eleme van [5] . $\lambda$

Jegyzetek

↑ 12. Wolk , 1983 , p. 365.
↑ Blair, 1977 .
↑ Moore, 1982 , p. 325.
↑ Boolos, 1989 , p. 155.
↑ 1 2 3 4 Wolk, 1983 , p. 366.
↑ Wolk, 1983 , p. 367.

Irodalom

Wolk Elliot S. A függő választások elvéről és a Zorn-lemma néhány formájáról (angol) // Canadian Mathematical Bulletin : Journal. - 1983. - 1. évf. 26 , sz. 3 . — P. 365–367 . - doi : 10.4153/CMB-1983-062-5 .
Blair Charles E. A Baire-kategória tétele magában foglalja a függő választások elvét // Bull. Acad. Polon. sci. Ser. sci. Math. Astron. Phys. : magazin. - 1977. - T. 25 , 10. sz . – S. 933–934 .
Moore Gregory H. Zermelo választási axiómája: eredete, fejlődése és hatása. - Springer, 1982. - ISBN 0-387-90670-3 .
Boolos George S., Jeffrey Richard C. Kiszámíthatóság és logika. — 3. - Cambridge University Press, 1989. - ISBN 0-521-38026-X .