Abc hipotézis

Az abc hipotézis (az Esterle-Musser hipotézis) egy számelméleti állítás, amelyet David Masser matematikusok egymástól függetlenül fogalmaztakmeg 1985 -ben [1] és Joseph Esterle 1988 - ban [2] .

Az abc -sejtés bizonyítása régóta a számelmélet egyik fő megoldatlan problémája, és az is maradt a mai napig. A probléma állapota jelenleg vitatott. Mochizuki 2012-ben szerzett bizonyítékát egyelőre nem sikerült sem megerősíteni, sem cáfolni.

Megfogalmazás

Bármelyikhez van egy konstans , amelynél bármely három másodlagos egész számra , és úgy, hogy az egyenlőtlenség $\varepsilon >0$ $K(\varepszilon )$ $a$ $b$ $c$ $a+b=c$

\max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operátornév {rad} (abc){\ nagy )}^{1+\varepsilon },

ahol a szám gyökje , vagyis az a szám , amely egyenlő a szorzat prímosztóinak szorzatával . $\operátornév {rad}(abc)$ $abc$ $abc$

Jegyzetek

Az általánosság elvesztése nélkül csak növekvő természetes számokat vehetünk figyelembe , és . Ekkor az egyenlőtlenség a következőkre csökken: $a$ $b$ $c$ $c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operátornév {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.$
A feltétel szükséges. Bármelyikhez van egy hármas koprímszám úgy, hogy . Például az alak hármasa , ahol . $\varepsilon >0$ $K$ ${\megjelenítési stílus a,b,c=a+b}$ $c>K\cdot \operátornév {rad} (abc)$ $a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}$ $K<3^{n-1}$

Következmények

Beal sejtése és Fermat utolsó tétele

Az abc -hipotézis érvényessége magában foglalja Beal hipotézisének érvényességét kellően nagyra , ebből pedig Fermat utolsó tételének érvényességét kellően nagy fokokra [3] . $z$

Beal sejtésének bizonyítása az abc -hipotézis alapján

Beal sejtése szerint, ha ( , , , , , természetes számok és ), akkor , , közös osztója van. $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ $A$ $B$ $C$ $x$ $y$ $z$ $x,\;y,\;z>2$ $A$ $B$ $C$

Bizonyítsuk be Beale sejtését kellően nagyra az ellenkezőjéből . Tegyük fel, hogy végtelen sok van , amelyre Beal sejtése hamis. Alkalmazzuk az abc hipotézist, amely szerint: $z$ $z$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operátornév {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{{1+\varepsilon } }

Tanuljuk meg ezt . Ezért: $\operátornév {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})=\operátornév {rad}(ABC)\leqslant ABC$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad}(ABC)\right)^{{1+\varepsilon }}\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^ {{1+\varepszilon}}

Mivel a tétel feltételeiből nyilvánvaló, hogy és , akkor . Akkor: $A<C$ $B<C$ $ABC\leqslant C^{3}$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{{3+3\varepsilon }}

Az egyenlőtlenség mindkét részének logaritmusát felvéve, és elosztva -val , akkor felső korlátot kapunk az értékre : $\log C$ $z$

z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))+3+3\varepsilon

, (*)

ráadásul a relációnak végesnek kell lennie, mert a feltétel szerint , , , természetesek (azaz ) ${\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))$ $A$ $B$ $C$ $A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2$

Így lehet találni olyan véges értéket , amelyre a (*) egyenlőtlenség nem teljesül, vagyis itt nem érvényes az abc -hipotézis, ami azt jelenti, hogy a Beal-hipotézis kellően nagyra való érvénytelenségére vonatkozó feltevés hibás. . A fennmaradó véges mennyiségre Beal sejtése numerikusan igazolható. $z$ $z$ $z$

Pillai és katalán hipotézisei

Az abc -hipotézis érvényességéből a Pillai-hipotézis érvényessége következik, ebből pedig a katalán hipotézis érvényessége .

Mochizuki bizonyítéka

2012 augusztusában a tekintélyes japán matematikus , Shinichi Mochizuki bejelentette, hogy sikerült bebizonyítania az abc -sejtést [4] [5] . Az általa javasolt bizonyítás még a speciális matematikusok szemszögéből is rendkívül nehéznek bizonyult [6] .

Miután közzétette a bizonyítékot az interneten, Mochizuki visszautasított minden ajánlatot, hogy személyesen közölje a közösséggel eredményeit, de több matematikus magára vállalta a bizonyíték ellenőrzését Mochizuki segítségével. Erről a munkáról előrehaladási jelentéseket tesznek közzé [7] . 2015 végétől Mochizuki apránként kommunikálni kezdett a közösséggel eredményeiről [8] . 2017 végén a Mochizuki [9] által megalkotott elméletnek 10-20 szakértője van a világon .

Így Shinichi Mochizuki bizonyítéka nyilvánosan elérhető, nincs megcáfolva, de a tudományos közösség még nem tekinti igazoltnak. Szokatlan, hogy a bizonyítás hosszú ideig ebben a határozatlan állapotban marad [9] [10] (ellentétben azokkal az esetekkel, amikor az ellenőrzöttnek és helyesnek ítélt bizonyítékok hibásnak bizonyultak).

2018-ban Peter Scholze és Jakob Stix, az abc hipotézishez és Mochizuki munkásságához kapcsolódó területek szakértői bejelentették, hogy Mochizuki elméletében az abc hipotézis bizonyításának kulcspontjában (ami régóta különös nehézséget okozott a matematikusok számára, akik megpróbálták megérteni az elméletet) végzetes hiba van [11] [6] . Mochizuki azt válaszolta, hogy Stix és Scholze félreértelmezte bizonyításának néhány kulcsfontosságú aspektusát, és ezért elfogadhatatlan egyszerűsítéseket tett [12] .

2020-ban a Mochizuki bizonyítása még mindig bizonytalan állapotban van, a matematikai közösség nincs meggyőződve annak helyességéről, annak ellenére, hogy a bizonyítást elfogadták a Matematikai Tudományok Kutatóintézetének publikációi (PRIMS, "Publications of the Research") folyóiratban. Institute for Mathematical Sciences") A Kiotói Egyetem (Japán) Matematikai Tudományok Kutatóintézete az az intézet, ahol Mochizuki dolgozik [13] [14] .

2021 márciusában Mochizuki bizonyítékát publikálták a PRIMS-ben [15] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ DW Masser. Nyitott problémák (angol) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / WWL Chen. - London: Imperial College, 1985. - 1. évf. 25 .
↑ J. Oesterle. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (francia) // Séminaire N. Bourbaki. - 1988. - 1. évf. 694 . — P. 165–186 . — ISSN 0303-1179 .
↑ R. Daniel Mauldin. Fermat utolsó tételének általánosítása: A Beal-sejtés és a díjprobléma // Az AMS megjegyzései. - 1985. - 1. évf. 44 , sz. 11 . - P. 1436-1437 .
↑ Egy japán matematikus bejelentette az ABC hipotézis bizonyítását, a Lenta.ru ( 2012. szeptember 11.). Az eredetiből archiválva : 2012. szeptember 14. Letöltve: 2012. szeptember 11.
↑ Mochizuki, Shinichi (2012. augusztus). Inter-univerzális Teichmuller-elmélet I: Hodge-színházak felépítése , Inter-univerzális Teichmuller-elmélet II: Hodge-Arakelov-elméleti értékelés , Inter-univerzális Teichmuller-elmélet III: A log-theta-rács kanonikus hasadásai. , Inter-univerzális Teichmuller-elmélet IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations , elérhető a következő címen: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Archiválva : 2021. február 2. Wayback gép
↑ 12 David Michael Roberts . Az azonosítás válsága // Következtetés. - 2019. - 1. évf. 4, sz. 3.
↑ IUTeich Verification Report 2013-12 Archivált : 2014. szeptember 13. a Wayback Machine -nél , IUTeich Verification Report 2014-12 Archiválva : 2015. január 22., a Wayback Machine
↑ "Japán Perelman" beleegyezett, hogy elmagyarázza a matematika fő titkát. Archív másolat 2015. november 27-én a Wayback Machine -nél // Lenta.ru, 2015-10-08
↑ 12 Timothy Revell . A megdöbbentő ABC matematikai bizonyíték most áthatolhatatlan, 300 oldalas „összefoglalóval” rendelkezik . New Scientist (2017. szeptember 7.). Letöltve: 2017. december 8. Az eredetiből archiválva : 2017. december 23.. (határozatlan)
↑ Caroline Chen. A bizonyítás paradoxona (2013. május 4.). Letöltve: 2016. szeptember 6. Az eredetiből archiválva : 2013. szeptember 16.. (határozatlan) Fordítás: Daniil Basmanov. A bizonyítás paradoxona (2013. június 17.). Hozzáférés dátuma: 2016. szeptember 6. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 14. (határozatlan)
↑ Klarreich, Erica . A matematika titánjai összecsapnak az ABC sejtés epikus bizonyítéka miatt , Quanta (2018. szeptember 20.). Archiválva az eredetiből 2021. március 14-én. Letöltve : 2018. szeptember 21. _ _
↑ Mochizuki, Shinichi -jelentés a megbeszélésekről, 2018. március 15–20., az Inter-Univerzális Teichmüller-elmélet kapcsán . Letöltve: 2019. január 18. Az eredetiből archiválva : 2018. november 9.. (határozatlan)
Mochizuki, Shinichi Megjegyzések Scholze-Stix kéziratához az Inter-Univerzális Teichmüller elmélettel kapcsolatban . Letöltve: 2019. január 18. Az eredetiből archiválva : 2018. szeptember 21.. (határozatlan)
Mochizuki, Shinichi Megjegyzések Scholze-Stix kéziratához (2018-2008-as verzió) az inter-univerzális Teichmüller elmélettel kapcsolatban . Letöltve: 2019. január 18. Az eredetiből archiválva : 2018. október 24.. (határozatlan)
↑ A Matematikai Tudományok Kutatóintézetének Publikációi című folyóirat mindennek ellenére közzéteszi Shinichi Mochizuki matematikus munkáját Esterle-Musser sejtés igazolásával. A Wayback Machine 2020. június 11-i archív másolata // Lenta.Ru , 2020. április 3
↑ Természet (Egyesült Királyság): Megérkezik a matematikai bizonyíték a számelmélet megrázására . Letöltve: 2020. április 12. Az eredetiből archiválva : 2020. április 12. (határozatlan)
↑ Mochizuki, Shinichi Mochizuki bizonyítéka az ABC sejtésre . Letöltve: 2021. július 14. Az eredetiből archiválva : 2021. május 3. (határozatlan)

Linkek

Weisstein, Eric W. abc Sejtés (angol) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Előadások az ABC hipotézisről: 1. előadás , 2. előadás , 3. előadás , 4. előadás (Keith Conrad).
R. Borcherds , Egyetemi matematikai előadás: The abc conjecture on YouTube

Irodalom

Ian Stewart . "A legnagyobb matematikai problémák". - M . : " Alpina non-fiction ", 2016. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .