Nulla paritás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. február 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Valójában  a nulla páros szám . De az a kérdés, hogy ennek tekintsük-e, kétségeket ébreszt azokban az emberekben, akik nem ismerik kellőképpen a matematikát. Sokan úgy találják , hogy a nulla még nehezebb, mint egy természetes szám, például 2, 4, 6 vagy 8. Vagy egyáltalán nem tudják megtenni, vagy összetévesztik a nullát egy páratlan (vagy kettős paritású) számmal.

Definíció szerint a páros szám olyan egész szám , amely maradék nélkül osztható 2 -vel . A nulla az ilyen számok összes tulajdonságával rendelkezik; például mindkét oldalán páratlan szegélyezi. Minden decimális egész számnak ugyanaz a paritása, mint az adott szám utolsó számjegyének – a tíz, tehát a nulla páros.

A nulla megfelel azoknak a mintáknak is, amelyek más páros számokat alkotnak. Paritásszabályok az aritmetikában, például páros−páros=páros[ pontosítás ] azt sugallják, hogy a 0-nak páros számnak is kell lennie. A nulla semleges elem páros számok egy csoportjának összeadásával, egyben a kezdetével, amelyből más páros természetes számokat rekurzívan definiálunk . Az ilyen gráfelméleti rekurzió alkalmazása a számítási geometriára annak paritásán múlik. A nulla nem csak 2-vel osztható, hanem minden hatványával. Ebben az értelemben ez a "legpárosabb" szám.

Miért egyenlő a nulla

Annak bizonyítására, hogy a nulla páros, közvetlenül használhatjuk a "páros szám" standard definícióját. Egy számot párosnak mondunk, ha 2 többszöröse. Például azért, mert 10 páros, mert egyenlő 5 × 2 -vel . Ugyanakkor a nulla 2 egész számú többszöröse is, azaz 0 × 2 , tehát a nulla páros [1] .

Ezenkívül formális definíciók alkalmazása nélkül is meg lehet magyarázni, hogy a nulla miért egyenletes.

Egyszerű magyarázatok

A nulla egy szám , és a számokat a számoláshoz használják. Ha sok objektum van, akkor számokkal írják le, hogy hány objektum van. A nulla mérték abban az esetben, ha nincs egyetlen objektum ; formálisabban az üres halmazban lévő objektumok száma . A paritás fogalmát használva alkossunk csoportokat egy objektumpárból. Ha a halmaz objektumai maradék nélkül feloszthatók és páronként felcímkézhetők, akkor az objektumok száma páros. Ha van olyan objektum, amely nem szerepel a csoportokban, akkor az objektumok száma páratlan. Az üres halmaz 0 objektumpárt tartalmaz, és nincs maradék ilyen csoportosításban, így a nulla páros [3] .

Mindezek az érvek szemléltethetők az objektumok páros rajzával. Nehéz nulla párokat húzni, vagy megmutatni, hogy nincs páratlan maradék, ezért kényelmes lesz más csoportokat húzni és nullával összehasonlítani. Például egy öt objektumból álló csoportban két pár van. Ezenkívül van benne egy tárgy sem, amely nem tartozik egyetlen párhoz sem - ezért az 5-ös szám páratlan. Egy négy objektumból álló csoportban egyetlen objektum sem maradt, csak két pár, tehát 4 páros. Nincs pár egy csoportban, ahol csak egy objektum van, és van egy maradék, így az 1 páratlan. A nulla objektumokkal rendelkező csoportban nincsenek párok és maradékok, így a 0 páros [4] [5] .

A számok a számegyenesen lévő pontokkal ábrázolhatók . Ha páros és páratlan számokat teszel rá, akkor ezek általános mintázata nyilvánvalóvá válik, különösen, ha negatív számokat ad hozzá:

Páros és páratlan számok váltják egymást. Nincs ok a nulla szám kihagyására [6] .

A szorzási művelettel a paritás formálisabban definiálható aritmetikai kifejezésekkel. Minden egész számra a következő alakok egyike lesz releváns: (2 × N) + 0 vagy (2 × N) + 1 . Az első kifejezés a páros számoknak, a második pedig a páratlanoknak felel meg. Például az 1 páratlan, mert 1 = (2 × 0) + 1 , a 0 pedig páros, mert 0 = (2 × 0) + 0 . Ha az ilyen kifejezéseket sorrendben írjuk be a táblázatba, ismét egy mintát kapunk, mint a numerikus tengelyen [7] .

Matematikai kontextus

Az elmélet numerikus eredményei az aritmetika alaptételére és a páros számok algebrai tulajdonságaira vonatkoznak, így a fenti konvenciónak messzemenő következményei vannak. Például az a tény, hogy a pozitív számok egyedi faktorizációval rendelkeznek, azt jelenti, hogy egyetlen szám esetében meg lehet határozni, hogy páros vagy páratlan számú különálló prímtényezővel rendelkezik-e. Mivel az 1 nem prímszám, és nincs is prímtényezője, ez a prímszámok üres szorzata; mivel a 0 páros szám, az 1-nek páros számú prímtényezője van. Ebből következik, hogy a Möbius-függvény μ (1) = 1 értéket vesz fel, ami szükséges ahhoz, hogy multiplikatív függvény legyen, és a Möbius-forgási képlet működjön [8] [9] .

Az oktatásban

Az Egyesült Királyság iskolarendszerében felvetődött a kérdés, hogy a nulla páros szám-e. Ebben a kérdésben számos közvélemény-kutatást végeztek iskolások körében. Kiderült, hogy a diákok különböző módon értékelik a nulla paritását: van, aki párosnak, van, aki - páratlannak -, van, aki speciális számnak tartja - mindkettőt egyszerre vagy egyiket sem. Ráadásul az ötödik osztályos tanulók gyakrabban adják meg a helyes választ, mint a hatodikosok [11] .

Tanulmányok kimutatták, hogy még az iskolák és az egyetemek tanárai sincsenek kellőképpen tisztában a nulla egyenlőségével. Így például a Dél-Floridai Egyetem oktatóinak körülbelül 2/3-a nemmel válaszolt a „A nulla páros szám?” kérdésre. [12] .

Jegyzetek

  1. ↑ Penner, 1999 , p. 34 B.2.2 lemma, A 0 egész szám páros és nem páratlan . Penner a ∃ matematikai szimbólumot, az egzisztenciális kvantort használja a bizonyításhoz: "Ahhoz, hogy lássuk, hogy 0 páros, be kell bizonyítanunk, hogy ∃ k (0 = 2 k ) , és ez a 0 = 2 ⋅ 0 egyenlőségből következik ."
  2. ↑ Vö . Lichtenberg, 1972 , p. 535 egy
  3. ↑ Lichtenberg, 1972 , pp. 535-536 „…a számok válaszolnak a Hány kérdésre? az objektumok halmazára … a nulla az üres halmaz számtulajdonsága… Ha az egyes halmazok elemei kettes csoportokban vannak kijelölve… akkor annak a halmaznak a száma páros szám.”
  4. ↑ Lichtenberg, 1972 , pp. 535-536 "Két csillag nulla csoportja van bekarikázva. Nem maradtak csillagok. Ezért a nulla páros szám."
  5. ↑ Dickerson és Pitman, 2012 , p. 191
  6. ↑ Lichtenberg, 1972 , p. 537; hasonlítsa össze Fig. 3. "Ha a páros számokat valamilyen speciális módon azonosítjuk... semmi ok arra, hogy a nullát kihagyjuk a mintából."
  7. ↑ Lichtenberg, 1972 , pp. 537-538 "Előre haladó szinten... a (2 × ▢) + 0 -ban kifejezett számok páros számok... a nulla szépen beleillik ebbe a mintába."
  8. ↑ Devlin, 1985 , pp. 30–33
  9. ↑ Dehaene, Bossini és Giraux, 1993 , pp. 376–377
  10. ↑ Frobisher, 1999 , p. 41
  11. ↑ Levenson, Tsamir & Tirosh, 2007 , pp. 83–95
  12. ↑ Lásd: Dehaene, Bossini és Giraux, 1993 , valamint Nuerk, Iversen és Willmes összefoglalója, 2004 , p. 837.

Irodalom