Lommel funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. február 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Lommel -függvény egy nem elemi függvény, amely az inhomogén Bessel-egyenlet sajátos megoldása :

{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})f=z^{\mu +1))

Eigen von Lommel német matematikus vezette be [1] [2] .

A Lommel-függvény integrált kifejezése:

{\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {\pi }{2}}\left(N_{\nu }(x)\cdot \int _{ 0}^{x}J_{\nu }(t)\cdot t^{\mu }dt-J_{\nu }(x)\cdot \int _{0}^{x}N_{\nu }( t)\cdot t^{\mu }dt\right)

hol van a Bessel-függvény ; a Neumann-függvény . $J_{\nu }(x)$ $N_{\nu }(x)$

A Lommel funkció kiterjesztése sorozatban:

{\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {x^{\mu }}{4}}\sum _{k=0}^{\infty } {\frac {(-1)^{k}\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2k}}{\left({\frac {\mu +\nu }{ 2}}\jobbra)_{k+1}\cdot \left({\frac {\mu -\nu }{2}}\jobbra)_{k+1}}}

hol van a Pochhammer szimbólum . ${\displaystyle \left(a\right)_{k))$

Jegyzetek

↑ Lommel, E. Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function (német) // Mathematische Annalen . - 1875. - Bd. 9 , sz. 3 . – S. 425–444 . (nem elérhető link)
↑ Lommel, E. Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV (német) // Mathematische Annalen. - 1880. - Bd. 16 , sz. 2 . – S. 183–208 . (nem elérhető link)

Irodalom

"Lommel-függvény" - cikk az Encyclopedia of Mathematics-ból

Linkek

Weisstein, Eric W. Lommel-függvény (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .