Kelvin függvények

A Kelvin - függvények a Bessel - függvények egy csoportja . Mindegyik pár a differenciálegyenlet megoldását jelenti :

x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}-(ix^{2}+\nu ^ {2})f=0

William Thomson (Lord Kelvin) vezette be, aki alkalmazásokban vizsgálta őket.

Az első típusú Kelvin-függvények

Meghatározásuk a következő:

\operátornév {ber} _{\nu }(x)=\operátornév {Re} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x \cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

\operatorname {bei} _{\nu }(x)=\operátornév {Im} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x \cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

hol van az Infeld függvény $I_{\nu }(x)$

Az n egész számok esetén a sorozat kibővítése történik:

\mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

\mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

Második típusú Kelvin-függvények

Meghatározásuk a következő: $\operatorname {ker} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)$

\operátornév {kei} _{\nu }(x)=\operátornév {Im} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

hol van a Macdonald függvény . $K_{\nu }(x)$

Az n egész számok esetén a sorozat kibővítése történik:

\mathrm {kei} _{n}(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{ \frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x }{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {1 }{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4 ))+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k) )!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

{\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^ {-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\jobb) \pi \right]{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left ({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x) \\&{}\quad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\jobbra)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \ left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n +k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{igazított}}

Harmadik típusú Kelvin-függvények

Meghatározásuk a következő:

\operatorname {her} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi } {4)))\jobbra)

\operátornév {hei} _{\nu }(x)=\operátornév {Im} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi } {4)))\jobbra)

hol van az első típusú Hankel-függvény . $H_{\nu }^{(1)}(x)$

Linkek

Weisstein, Eric W. Kelvin Functions (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Kuznetsov D. S. - "Speciális funkciók" - 1962