Taylor-Peano képlet

Taylor - Peano formula Legyen , az és halmaz határpontja . Ha a függvény a pontban differenciálható , akkor a Taylor-Peano képlet mindenkire érvényes $f:{\mathbb C}\ to {\mathbb C}$ $z_{0}$ $D_f$ $z_{0}\in D_{f}$ $f$ $n$ $z_{0}$ $z\in D_{f}$

f(z)=\sum \limits _{{k=0}}^{n}{\frac {f^{{(k)}}(z_{0})(z-z_{0})^{ k}}{k!}}+\varepsilon _{n}(z)(z-z_{0})^{n},

(egy)

ahol ε n (z) egy folytonos függvény a z 0 pontban és ε n ( z 0 ) = 0. Alkalmazzuk a matematikai indukció módszerét . Ha n = 0, akkor az állítás nyilvánvaló ε n ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ) esetén. Tegyük fel, hogy a tétel állítása n -nek n − 1-gyel való helyettesítése után érvényes, és az f függvény n -szer differenciálható Fermat-Lagrange értelmében a z 0 pontban.. A definíció szerint létezik egy n − 1 Fermat-Lagrange differenciálható φ függvény a z 0 pontban úgy, hogy ∀ z ∈ D f ,

$f(z)-f(z_{0})=(z-z_{0})\varphi (z).\quad \quad (2)$

Feltételezéssel

$\varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {\varphi ^{(k)}(z_{0})(z-z_{0} )^{k}}{k!}}+\varepszilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{n-1},\quad \quad (3)$

ahol a z 0 és pontban folytonos függvény . A (2) és (3) egyenlőségből kapjuk: $\varepsilon _{{n-1}}(z)$ $\varepsilon _{{n-1}}(z_{0})=0$

$f(z)=f(z_{0})+(z-z_{0})\left(\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{ (k+1)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}}{k!}}+\varepszilon _{n-1}(z)(z-z_{0}) ^{n-1}\jobbra)=$

$=f(z_{0})+\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(z_{0})}{k +1}}{\frac {(z-z_{0})^{k+1}}{k!}}+\varepszilon _{n-1}(z)(z-z_{0})^{ n},$

amely ekvivalens az (1) képlettel . $\varepsilon _{n}=\varepsilon _{{n-1}}$

Irodalom

A.K.Boyarchuk "Egy összetett változó függvényei: elmélet és gyakorlat" Útmutató a felsőbb matematikáról. T.4 M.: Szerkesztői URSS, 2001. - 352p.