Kitöltési sugár

Az érzékelési sugár a Riemann-féle sokaság metrikus jellemzője .

Gromov javasolta 1983-ban. A kitöltési sugarat használta az esszenciális sokaságok szisztolés egyenlőtlenségének bizonyítására .

Görbék a síkban

Egy zárt C görbe kitöltési sugara ( ) a síkban a görbén belüli kör legnagyobb sugara. $\mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})$ $R>0$

A C görbe kitöltési sugarát úgy is meghatározhatjuk, mint a legkisebb értéket annak , hogy a C görbe egy pontra zsugorodik a szomszédságában. $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Definíció

Jelölje A -val a gyűrűt vagy attól függően, hogy X tájolható-e vagy sem. $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Ekkor egy kompakt n - dimenziós X sokaság [ X ] alaposztálya a homológiacsoport generátora , és beállítjuk $H_{n}(X;A)\simeq A$

\mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon } X)\jobbra\},

ahol X Kuratowski beágyazását jelöli az X korlátos függvényeinek terébe . ${\displaystyle \iota _{\varepsilon ))$

Tulajdonságok

Bármely dimenzióban van egy állandó , hogy az egyenlőtlenség $n$ $c_n$ $(\mathrm {FillRad} \,M)^{n}\leq c_{n}\cdot \mathrm {vol} \,M$

minden zárt Riemann- dimenziós elosztóra érvényes .

n

M

Ez a töltési sugár fő tulajdonsága, amelyet Gromov a szisztolés egyenlőtlenség bizonyítására használ; jelentős egyszerűsítésekkel és javított állandóval bizonyítja Alekszandr Nabutovszkij. [egy]
Adott , legalább 3 dimenziós sokaság esetén az egyenlőtlenség optimális állandója $M$ $c(M)$

(\mathrm {FillRad} \,(M,g))^{n}\leq c(M)\cdot \mathrm {vol} \,(M,g)

csak a dimenzióra és annak tájolhatóságára irigykedek. [2]

M

A töltési sugár nem haladja meg az átmérő egyharmadát. [3]
- Egyenlőség érhető el egy kanonikus metrikával rendelkező valódi projektív tér esetében.
  - Konkrétan az egységkör kitöltési sugara az indukált Riemann-metrikával π/3, azaz hosszának egyhatoda.

Egy esszenciális elosztó szisztoléja nem haladja meg a hat töltési sugarat.
- Ez az egyenlőtlenség a valós projektív terek egyenlőségévé válik, amint azt fentebb említettük.

Az M kompakt elosztó befecskendezési sugara alsó korlátot ad a töltési sugárnak. Ugyanis, $\mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{\dim M+1)).$

Jegyzetek

↑ Alekszandr Nabutovszkij, A Gromov-féle szisztolés egyenlőtlenség állandóinak lineáris határai és a kapcsolódó eredmények. arXiv : 1909.12225
↑ Brunnbauer, Michael, Az egyenlőtlenségek kitöltése nem függ a topológiától. J. Reine Angew. Math. 624 (2008), 217–231.
↑ Katz, M.: Kétpontos homogén terek kitöltési sugara. Journal of Differential Geometry 18, 3. szám (1983), 505–511.

Irodalom

Gromov, M.: Riemann-féle sokaságok kitöltése, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
Katz, M.: Kétpontos homogén terek kitöltési sugara. Journal of Differential Geometry 18, 3. szám (1983), 505-511.
Katz , Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology , vol. 137, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8 , OCLC 77716978